矩阵乘法在一些置换问题上有着很好的应用，特别置换次数较多时，采用矩阵快速幂运算可以加快运算过程。

任意一个置换都能够表示成矩阵的形式。比如，将序列1  2  3  4 置换为 3  1  2  4，相当于以下的矩阵乘法：

一般来说，对于序列1, 2, ..., n，若给出置换方法a1,a2,...,an ，该置换方法表示将原序列的第pi位置上的元素换到第i位置上。

则可以构造置换矩阵P为： P[ai][i]=1 (1<=i<=n)， 其余元素全为0。

显然，置换矩阵每行只有一个元素为1，其余为0。

另外，构造的置换矩阵都是可逆的，并且它的逆矩阵等于它的转置矩阵。

【例1】解码字符串。

给定n个数，代表一个置换。一个长度为n的字符串s经过m次置换后变成另一个字符串t。

例如，输入5个数：2  3  1  5  4 代表一个置换操作。字符串s为“hello”，经过3次置换操作

"hello"  ->  "elhol"  ->  "lhelo"  ->  "helol"后，可得到字符串t为“helol”。

输入n、m和结果字符串t，输出转换前的原字符串s。

(1)编程思路。

由置换规则  2 3 1 5 4，可以快速构造用于字符串s转换到t的置换矩阵P。

而从字符串t转换到s显然是逆操作，而置换矩阵的逆矩阵就是其转置矩阵。因此，用于本题的置换矩阵PT应为：

构造好置换矩阵后，m次操作就是置换矩阵的m次幂，之后再乘以初始序列{1 2 3 4 ....n}，然后输出相应位置的字符就可以了。

(2)源程序。

#include

#include

struct Matrix

{

int mat[81][81]; // 存储矩阵中各元素

};

Matrix matMul(Matrix a ,Matrix b,int n)

{

Matrix c;

memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));

int i,j,k;

for (k = 1; k<=n ; k++)

for (i=1 ;i<=n ; i++)

if (a.mat[i][k]!=0)

for (j = 1 ;j<=n ;j++)

c.mat[i][j] = (c.mat[i][j] + a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) ;

return c;

}

Matrix quickMatPow(Matrix a ,int n,int b) // n阶矩阵a快速b次幂

{

Matrix c;

memset(c.mat ,0 ,sizeof(c.mat));

int i;

for (i = 1 ;i <= n ;i++)

c.mat[i][i] = 1;

while (b!=0)

{

if (b & 1)

c = matMul(c ,a ,n); // c=c*a;

a = matMul(a ,a ,n); // a=a*a

b /= 2;

}

return c;

}

int main()

{

int n,m,p[81],i;

Matrix a,b,ans;

char str[82];

while (scanf("%d%d",&n,&m) && n!=0 && m!=0)

{

memset(b.mat,0,sizeof(b.mat));

for (i=1;i<=n;i++)

b.mat[1][i]=i;

memset(a.mat,0,sizeof(a.mat));

for (i=1;i<=n;i++)

{

scanf("%d",&p[i]);

a.mat[i][p[i]]=1;

}

getchar();

gets(str);

ans=quickMatPow(a,n,m);

ans=matMul(b,ans,n);

for (i=1;i<=n;i++)

printf("%c",str[ans.mat[1][i]-1]);

printf("\n");

}

return 0;

}

将此源程序提交给HDU 2371 “Decode the Strings”，可以Accepted。

【例2】送给圣诞夜的礼品。

已知序列1,2,3,…,n，给出m个置换操作， 例如某个置换操作 6 1 3 7 5 2 4，表示把6位置上的元素换到1位置上，1位置上的元素换到2位置上…。

求原序列为1,2,3,……,n的序列按给出的m个置换操作的顺序进行k次置换后得到的新序列。若k>m，则第m+1次置换操作做第1个置换操作，第m+2次置换操作做第2个置换操作，…。

数据说明： 1<=n<=100；1<=m<=10；1<=k<=2^31-1。

(1)编程思路。

搞懂了例1，本题就容易入手了。m 个置换操作需要构造m个置换矩阵。

构造好置换矩阵后，先将m个置换矩阵乘起来，得到ans矩阵，则此时的ans矩阵相当进行了m次操作；再将ans矩阵进行k/m次幂，此时相当进行了k次操作。当然，由于k不一定整除m，因此还需按m个置换操作的顺序进行k%m次的置换操作。

(2)源程序。

#include

#include

struct Matrix

{

int mat[101][101]; // 存储矩阵中各元素

};

Matrix p[11];

Matrix matMul(Matrix a ,Matrix b,int n)

{

Matrix c;

memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));

int i,j,k;

for (k = 1; k<=n ; k++)

for (i=1 ;i<=n ; i++)

if (a.mat[i][k]!=0)

for (j = 1 ;j<=n ;j++)

c.mat[i][j] = (c.mat[i][j] + a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) ;

return c;

}

Matrix quickMatPow(Matrix a ,int n,int b) // n阶矩阵a快速b次幂

{

Matrix c;

memset(c.mat ,0 ,sizeof(c.mat));

int i;

for (i = 1 ;i <= n ;i++)

c.mat[i][i] = 1;

while (b!=0)

{

if (b & 1)

c = matMul(c ,a ,n); // c=c*a;

a = matMul(a ,a ,n); // a=a*a

b /= 2;

}

return c;

}

int main()

{

int n,m,k,i,j,num,a[101];

Matrix ans;

scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);

for (i=0;i

{

memset(p[i].mat,0,sizeof(p[i].mat));

for (j=1;j<=n;j++)

{

scanf("%d",&num);

p[i].mat[j][num]=1;         // 构造的置换矩阵

}

}

memset(ans.mat,0,sizeof(ans.mat));

for (i=1;i<=n;i++)

ans.mat[i][i]=1;

for (i=0;i

ans=matMul(p[i],ans,n);      // m个置换矩阵先乘起来，注意是左乘

ans=quickMatPow(ans,n,k/m);

for (i=0;i

ans=matMul(p[i],ans,n);    // 剩余的k%m个矩阵相乘，代表剩余的k%m次操作

memset(a,0,sizeof(a));

for (i=1;i<=n;i++)

for (j=1;j<=n;j++)

a[i]=a[i]+(ans.mat[i][j])*j;

for (i=1;i<=n;i++)

printf("%d ",a[i]);

printf("\n");

return 0;

}