稀疏Softmax（Sparse Softmax）

本文源自于SPACES：“抽取-生成”式长文本摘要（法研杯总结），原文其实是对一个比赛的总结，里面提到了很多Trick，其中有一个叫做稀疏Softmax（Sparse Softmax）的东西吸引了我的注意，查阅了很多资料以后，汇总在此

Sparse Softmax的思想源于《From Softmax to Sparsemax: A Sparse Model of Attention and Multi-Label Classification》、《Sparse Sequence-to-Sequence Models》等文章。里边作者提出了将Softmax稀疏化的做法来增强其解释性乃至提升效果

不够稀疏的Softmax

前面提到Sparse Softmax本质上是将Softmax的结果稀疏化，那么为什么稀疏化之后会有效呢？我们认稀疏化可以避免Softmax过度学习的问题。假设已经成功分类，那么我们有smax=sts_{\text{max}}=s_tsmax=st（目标类别的分数最大），此时我们可以推导原始交叉熵的一个不等式：

log⁡(∑i=1nesi)−smax=log⁡(est+∑i≠tesi)−smax=log⁡(esmax+∑i≠tesi)−log⁡(esmax)=log⁡(esmax+∑i≠tesiesmax)=log⁡(1+∑i≠tesi−smax)≥log⁡(1+(n−1)esmin−smax)(1)\begin{aligned} \log (\sum_{i=1}^n e^{s_i})-s_{\text{max}} &= \log (e^{s_t}+\sum_{i\neq t}e^{s_i})-s_{\text{max}}\\ &= \log (e^{s_{\text{max}}} + \sum_{i\neq t}e^{s_i})-\log (e^{s_{\text{max}}})\\ &= \log (\frac{e^{s_{\text{max}}} + \sum_{i\neq t}e^{s_i}}{e^{s_{\text{max}}}})\\ &= \log (1+ \sum_{i \neq t}e^{s_i - s_{\text{max}}})\\ & \ge \log (1+ (n - 1)e^{s_{\text{min}}-s_{\text{max}}}) \end{aligned}\tag{1} log(i=1∑nesi)−smax=log(est+i=t∑esi)−smax=log(esmax+i=t∑esi)−log(esmax)=log(esmaxesmax+∑i=tesi)=log(1+i=t∑esi−smax)≥log(1+(n−1)esmin−smax)(1)

假设当前交叉熵值为ε\varepsilonε，那么有

ε≥log⁡(1+(n−1)esmin−smax)(2)\varepsilon \ge \log (1+ (n - 1)e^{s_{\text{min}}-s_{\text{max}}})\tag{2} ε≥log(1+(n−1)esmin−smax)(2)

解得

smax−smin≥log⁡(n−1)−log⁡(eε−1)(3)s_{\text{max}} - s_{\text{min}} \ge \log (n - 1) - \log (e^{\varepsilon} - 1)\tag{3} smax−smin≥log(n−1)−log(eε−1)(3)

我们以ε=ln⁡2=0.69...\varepsilon = \ln2 = 0.69...ε=ln2=0.69...为例，这时候log⁡(eε−1)=0\log (e^{\varepsilon} - 1)=0log(eε−1)=0，那么smax−smin≥log⁡(n−1)s_{\text{max}} - s_{\text{min}}\ge \log (n-1)smax−smin≥log(n−1)。也就是说，为了要loss降到0.69，那么最大的logit与最小的logit的差就必须大于log⁡(n−1)\log (n-1)log(n−1)，当nnn比较大时，对于分类问题来说这是一个没有必要的过大的间隔，因为我们只希望目标类的logit比所有非目标类都要大一点就行，但是并不一定需要大log⁡(n−1)\log (n-1)log(n−1)那么多，因此常规的交叉熵容易过度学习从而导致过拟合

稀疏的Sparsemax

前面说了这么多关于Softmax的内容，那么Sparse Softmax或者说Sparsemax是如何做到稀疏化分布的呢？原文内容大家可以直接去看论文，写的非常复杂，这里我给出苏剑林大佬设计的一个更简单的版本

OriginSparseSoftmaxpi=esi∑j=1nesjpi={esi∑j∈Ωkesj,i∈Ωk0,i∉ΩkCrossEntropylog⁡(∑i=1nesi)−stlog⁡(∑i∈Ωkesi)−st\begin{array}{c|c|c} \hline & \text{Origin} & \text{Sparse} \\ \hline \text{Softmax} & p_i = \frac{e^{s_i}}{\sum\limits_{j=1}^{n} e^{s_j}} & p_i=\left\{\begin{aligned}&\frac{e^{s_i}}{\sum\limits_{j\in\Omega_k} e^{s_j}},\,i\in\Omega_k\\ &\quad 0,\,i\not\in\Omega_k\end{aligned}\right.\\ \hline \text{CrossEntropy} & \log\left(\sum\limits_{i=1}^n e^{s_i}\right) - s_t & \log\left(\sum\limits_{i\in\Omega_k} e^{s_i}\right) - s_t\\ \hline \end{array} SoftmaxCrossEntropyOriginpi=j=1∑nesjesilog(i=1∑nesi)−stSparsepi=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧j∈Ωk∑esjesi,i∈Ωk0,i∈Ωklog(i∈Ωk∑esi)−st

其中Ωk\Omega_kΩk是将s1,s2,...,sns_1,s_2,...,s_ns1,s2,...,sn从大到小排列后前kkk个元素的下标集合。说白了，苏剑林大佬提出的Sparse Softmax就是在计算概率的时候，只保留前kkk个，后面的直接置零，kkk是人为选择的超参数

代码

首先我根据苏剑林大佬的思路，给出一个简单版本的PyTorch代码

import torch
import torch.nn as nnclass Sparsemax(nn.Module):"""Sparsemax loss"""def __init__(self, k_sparse=1):super(Sparsemax, self).__init__()self.k_sparse = k_sparsedef forward(self, preds, labels):"""Args:preds (torch.Tensor):  [batch_size, number_of_logits]labels (torch.Tensor): [batch_size] index, not ont-hotReturns:torch.Tensor"""preds = preds.reshape(preds.size(0), -1) # [batch_size, -1]topk = preds.topk(self.k_sparse, dim=1)[0] # [batch_size, k_sparse]# log(sum(exp(topk)))pos_loss = torch.logsumexp(topk, dim=1)# s_tneg_loss = torch.gather(preds, 1, labels[:, None].expand(-1, preds.size(1)))[:, 0]return (pos_loss - neg_loss).sum()

再给出一个Github上找到的一个PyTorch原版代码

"""Sparsemax activation function.
Pytorch implementation of Sparsemax function from:
-- "From Softmax to Sparsemax: A Sparse Model of Attention and Multi-Label Classification"
-- André F. T. Martins, Ramón Fernandez Astudillo (http://arxiv.org/abs/1602.02068)
"""import torch
import torch.nn as nndevice = torch.device("cuda" if torch.cuda.is_available() else "cpu")class Sparsemax(nn.Module):"""Sparsemax function."""def __init__(self, dim=None):"""Initialize sparsemax activationArgs:dim (int, optional): The dimension over which to apply the sparsemax function."""super(Sparsemax, self).__init__()self.dim = -1 if dim is None else dimdef forward(self, input):"""Forward function.Args:input (torch.Tensor): Input tensor. First dimension should be the batch sizeReturns:torch.Tensor: [batch_size x number_of_logits] Output tensor"""# Sparsemax currently only handles 2-dim tensors,# so we reshape to a convenient shape and reshape back after sparsemaxinput = input.transpose(0, self.dim)original_size = input.size()input = input.reshape(input.size(0), -1)input = input.transpose(0, 1)dim = 1number_of_logits = input.size(dim)# Translate input by max for numerical stabilityinput = input - torch.max(input, dim=dim, keepdim=True)[0].expand_as(input)# Sort input in descending order.# (NOTE: Can be replaced with linear time selection method described here:# http://stanford.edu/~jduchi/projects/DuchiShSiCh08.html)zs = torch.sort(input=input, dim=dim, descending=True)[0]range = torch.arange(start=1, end=number_of_logits + 1, step=1, device=device, dtype=input.dtype).view(1, -1)range = range.expand_as(zs)# Determine sparsity of projectionbound = 1 + range * zscumulative_sum_zs = torch.cumsum(zs, dim)is_gt = torch.gt(bound, cumulative_sum_zs).type(input.type())k = torch.max(is_gt * range, dim, keepdim=True)[0]# Compute threshold functionzs_sparse = is_gt * zs# Compute taustaus = (torch.sum(zs_sparse, dim, keepdim=True) - 1) / ktaus = taus.expand_as(input)# Sparsemaxself.output = torch.max(torch.zeros_like(input), input - taus)# Reshape back to original shapeoutput = self.outputoutput = output.transpose(0, 1)output = output.reshape(original_size)output = output.transpose(0, self.dim)return outputdef backward(self, grad_output):"""Backward function."""dim = 1nonzeros = torch.ne(self.output, 0)sum = torch.sum(grad_output * nonzeros, dim=dim) / torch.sum(nonzeros, dim=dim)self.grad_input = nonzeros * (grad_output - sum.expand_as(grad_output))return self.grad_input

*补充

经过苏剑林大佬的许多实验发现，Sparse Softmax只适用于有预训练的场景，因为预训练模型已经训练得很充分了，因此finetune阶段要防止过拟合；但是如果从零训练一个模型，那么Sparse Softmax会造成性能下降，因为每次只有kkk个类别被学习到，反而会存在学习不充分的情况（欠拟合）

References

SPACES：“抽取-生成”式长文本摘要（法研杯总结）
稀疏序列到序列模型
深度学习激活函数从Softmax到Sparsemax
GLU, sparsemax, GELU激活函数