一.常见的连续型随机变量及其密度函数

（1）均匀分布：

一般地，在有限区间 [a,b]上为常数,在此区间外为零的密度函数p(x) 都称为均匀分布,并记为 U(a,b)

密度函数：

$g(x)=\left\{ \begin{aligned} \frac{1}{b-a} & &{a\leq x \leq b}\\ {0}\\ \end{aligned} \right.$

分布函数：

$F(x)=\left\{ \begin{aligned} {0} & &{x<a} \\ \frac{x-a}{b-a} & &{a\leq x <b} \\ {1} & &{x\geq b} \end{aligned} \right.$

均匀分布是最简单的，也是最常见的分布.

# 【0，1】上的均匀分布
a = float(0)
b = float(1)x = np.linspace(a, b)
y = np.full(shape = len(x),fill_value=1/(b - a))  # np.full 构造一个数组，用指定值填充其元素plt.plot(x,y,"b",linewidth=2)
plt.ylim(0,1.2)
plt.xlim(-1,2)
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('p (x)')
plt.title('uniform distribution')
plt.show()

(2)指数分布

若随机变量 X的密度函数为

$F(x)=\left\{ \begin{aligned} \lambda e^{-\lambda x} & &{x\geq 0}\\ 0 & &{x< 0} \\ \end{aligned} \right.$

则称 X 服从指数分布, 记作 X∼Exp(λ), 其中参数 λ>0。其中 λ 是根据实际背景而定的正参数。假如某连续随机变量 X∼Exp(λ), 则表示 X 仅可能取非负实数。

分布函数

$F(x)=\left\{ \begin{aligned} {1-e^{-\lambda x}} & &{x\geq 0}\\ 0 & &{x< 0}\\ \end{aligned} \right.$

# 指数分布
lam = float(1.5)x = np.linspace(0,15,100)
y = lam * np.e**(-lam * x)plt.plot(x,y,"b",linewidth=2)
plt.xlim(-5,10)
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('p (x)')
plt.title('exponential distribution')
plt.show()

(3)正态分布

若随机变量 X 的密度函数为

$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}, \quad-\infty<x<\infty$

则称 X 服从正态分布，称 X 为正态变量，记作 X∼N(μ,σ^2)。其中参数 −∞<μ<∞,σ>0

## 已知正态分布的密度函数求分布函数
from sympy import *
from sympy.abc import mu,sigma
x = symbols('x')
p_x = 1/(sqrt(2*pi)*sigma)*E**(-(x-mu)**2/(2*sigma**2))
integrate(p_x, (x, -oo, x))

由图可知，如果固定 σ，改变 μμ的值，则图形沿 x轴平移。如果固定 μ，改变 σ 的值，则分布的位置不变,但 σ 愈小，曲线呈高而瘦，分布较为集中; σ 愈大，曲线呈矮而胖，分布较为分散。

可以得到

1.正态密度函数的位置由参数 μ 所确定，因此称 μ 为位置参数。

2.正态密度函数的尺度由参数 σ 所确定，因此称 σ 为尺度参数

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