背景

近期遇到的一个真实事件：
中信银行给我打电话，说我的信用卡欠款可以分期归还，手续费折算到每月大约是0.57%。手续费需要在第一个月全额支付。比如我分期12000元，则第一个月应还：
1000+(12000×0.0057×12)=1820.8 1000 + (12000 \times{0.0057} \times{12}) = 1820.8
从第二个月开始，每个月还1000

另一方面，蚂蚁花呗贷款日息是万2，也就是10000块钱每日利息2块钱，月利率大约是0.6%。

问题来了，中信银行的信用卡欠款，是分期比较划算，还是从蚂蚁花呗借款（12个月，按月等额本息还款）来还划算？

我第一感觉是手续费率较低，当时正好钱荒，所以当场就办理了分期。回头一想似乎不对，于是拿出手机打开支付宝算了算：

总利息是480.03元，而前述手续费是820.80元，比较下来等额本息要少还不少利息。
其实仔细想想就能明白，无论等额本金还是等额本息还款，用来计算利息的本金都是逐月减少，但用来计算分期手续费的本金则是始终等于借款总额，这个差异点使得分期手续费率与贷款利率之间不能直接比较。

既然不能直接比较，它们之间应如何转换？本文就这个问题做了些探讨。先说下结论，在分期手续费率不高（月费率小于1%）的情况下，通常可以直接按照2倍来估算对应的贷款利率（此时等额本金、等额本息差别不大）。此结论有助于在不同资金操作方式间进行比较。

约定

月手续费率： x x
月贷款利率：yy
月份数： m m
总利息：PP
借款总数： A A
等效贷款数：A′A'
解释下借款总数与等效贷款数之间的关系：一般银行的手续费分为首月付清或者末月付清，而不是逐月支付
- 如果是首月付清手续费，则用户实际可用款项是借款总数减去手续费，而不是全部借款，此时相当于贷款 A′=A−A×m×x A'=A-A \times{m} \times{x}
- 如果是末月付清手续费，则等效贷款数等于借款总数 A′=A A'=A
基于以上讨论，引入“贷借比” k=A′A k=\frac{A'}{A}

k={1−mx1（首月付清手续费）（末月付清手续费）

k= \begin{cases} &1-mx& \text{（首月付清手续费）} \\ &1& \text{（末月付清手续费）} \end{cases}

推导

所谓手续费率与贷款利率的“等效关系”是基于以下条件：双方所计算出来的应付总利息相等。
分期手续费率总利息：

P=A×m×x

P=A \times{m} \times{x}

等额本金

如果是贷款且使用等额本金方式还款，则应付利息为：

第1个月： A′y=A′ymm A'y=A'y\frac{m}{m}
第2个月： (A′−A′m)y=A′y(m−1)m (A'-\frac{A'}{m})y= A'y\frac{(m-1)}{m}
…
第n个月： (A′−A′(n−1)m)y=A′y(m+1−n)m (A'-A' \frac{(n-1)}{m})y=A'y\frac{(m+1-n)}{m}
…
总利息： P=A′y[m+(m−1)+...+1]m=A′y(m+1)2 P=A'y\frac{[m+(m-1)+...+1]}{m}=A'y\frac{(m+1)}{2}

所以应有：

Amx=A′ym+12

Amx=A'y\frac{m+1}{2}
⟺ \iff

y=2mxk(m+1)

y=\frac{2m x}{k(m+1)}

等额本息

等额本息下，每月还款额是

X=A′y(1+y)m[(1+y)m−1]

X=A' \frac{y(1+y)^m}{[(1+y)^m-1]}
推导过程不赘述，参考这里
总利息：

P=mX−A′=A′{my(1+y)m[(1+y)m−1]−1}

\begin{aligned} P&=mX-A' \\ &=A'\left\{ \frac{my(1+y)^m}{[(1+y)^m-1]}-1\right\} \end{aligned}
⟺ \iff

Amx=A′{my(1+y)m[(1+y)m−1]−1}

Amx=A'\left\{ \frac{my(1+y)^m}{[(1+y)^m-1]}-1\right\}
⟺ \iff

kmy(1+y)m−k[(1+y)m−1]−mx[(1+y)m−1]=0

kmy(1+y)^m-k[(1+y)^m-1]-mx[(1+y)^m-1]=0
⟺ \iff

kmy(1+y)m−(k+mx)(1+y)m+(k+mx)=0(1)

kmy(1+y)^m-(k+mx)(1+y)^m+(k+mx)=0\tag{1}
我数学知识忘得差不多了…以上表达式无法直观的看出符号解 y=f(x) y=f(x)，只好求助于matlab。

代码

matlab是处理数学问题和绘制函数图像首选。

等额本金

function [y] = principal(x, m, pre_pay)
%Matching principalif pre_payk = 1 - x .* m;
elsek = ones(1, length(x));
endy = 2 * m .* x ./ (k .* (m + 1));
end

等额本息

等额本息换算公式较为复杂，(1)并非标准的多项式形式，我们做个转换：
令 t=1+y t=1+y，则(1)转换为

km(t−1)tm−(k+mx)tm+(k+mx)=0

km(t-1)t^m-(k+mx)t^m+(k+mx)=0
⟺ \iff

kmtm+1−(km+k+mx)tm+(k+mx)=0(2)

kmt^{m+1}-(km+k+mx)t^m+(k+mx)=0 \tag{2}
(2)是标准的多项式形式，可以用matlab的roots函数求解，需要过滤掉复数解以及 t=1 t=1的解（注意到roots是求数值解，有一定误差，所以实际代码中采用了更宽松的判断条件）。

function [y] = interest(x, m, pre_pay)
%Matching interestif pre_payk = 1 - x .* m;
elsek = ones(1, length(x));
endrows = length(x);
p = zeros(rows, m + 2);
p(:, 1) = k .* m;
p(:, 2) = -(k .* m + k + x .* m);
p(:, m + 2) = k + x .* m;y = [];
for i = 1:rowst = roots(p(i, :));t_rows = 1;for j = 1:length(t)if isreal(t(j)) && t(j) > 1 + x(i)y(t_rows, i) = t(j) - 1;t_rows = t_rows + 1;endend
endend

结论

以分12期为例。在matlab中使用以下代码来看 y=f(x) y=f(x)图形变化趋势

x = linspace(0, 0.04);
y1 = principal(x, 12, 1);
y2 = principal(x, 12, 0);
y3 = interest(x, 12, 1);
y4 = interest(x, 12, 0);
y5 = x .* 2;
figure;
plot(x, y1, 'r', x, y2, 'g', x, y3, 'b', x, y4, 'c', x, y5, 'k.'), grid;
xlabel('手续费率');
ylabel('等效利率');
legend('等额本金，手续费首月付清', '等额本金，手续费末月付清', '等额本息，手续费首月付清', '等额本息，手续费末月付清', '2倍手续费率', 'Location', 'northwest');

可以看到，等效的贷款利率通常远高于对应的分期手续费率。在分期手续费率较小时，等效贷款利率约2倍于手续费率。

开篇提到中信银行的分期月手续费率为0.57%（首月支付），那么对应的等额本息等效月利率是

>> interest(0.0057, 12, 1)ans =0.0111

即1.11%。

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