普林斯顿大学算法第一周个人总结1

来自普林斯顿大学的 Coursera 课程《算法，第一部分》，课程地址：https://www.coursera.org/course/algs4partI

第一周的内容是 Union-Find算法和算法分析两个部分，这一篇只总结Union-Find。

问题描述：

有N个元素，从 0 ~ N-1 编号，假设用通路表示元素之间的连接，当执行多次任意两个元素的连接之后，如何判断某两个元素是否能够通过已有路径相连通。连接的动作我们称之为 union，判断两元素是否相连的操作称之为 find，类比下图：

从图上可以看出，0, 1, 2, 5, 6, 7 中任意两个元素都是相连的，同样 3, 4, 8, 9 中任意两个元素也是互连的，但是第一个集合和第二个集合的元素却是无法连通的。

实际操作中可用于在一个庞大的网路环境下，如何迅速判断某两个点是否相连，如下图：

开发有效算法的步骤：

1）构建模型
2）寻找算法
3）方法的效率和内存使用
4）效率差，内存使用率高，找出问题的原因所在
5）寻找解决方法重复3

首先确认 union 和 find 操作应该满足什么样的条件：

find操作：确认两个对象是否连接：
a. p连接到q
b. p连接到q，则q也连接到p
c. p连接到q，q连接到r，则p也连接到r
union操作：连接在一起的对象，我们统称为一个连接集合，执行一次union操作就相当于将两个对象所在的集合连接到一起，组成一个新的集合。新集合中的任意两个成员也应该都处于连接状态。

然后寻找合适的算法：

演示三种算法，循序渐进，展示算法的优化过程

原课程是采用 Java，在这里我将 Java 的实现修改为 C 实现。

（1）Quick-find

数据结构：采用简单的一维数组。

struct qf {int*    qf_array;int     count;
};

算法描述：当且仅当p和q具有相同的ID，则p和q处于连接状态
find：查看两个数组成员是否具有相同ID
union：将所有和 id[p] 相同 ID 值的数组成员的值，全部转换为 id[q] 的ID值。

图示算法的效果：

算法实现：

int qf_union(QuickFind qf, int p, int q)
{int i, pid, qid;pid = qf->qf_array[p];qid = qf->qf_array[q];for (i = 0; i < qf->count; i++)if (qf->qf_array[i] == pid)qf->qf_array[i] = qid;return 0;
}int qf_connected(QuickFind qf, int p, int q)
{return qf->qf_array[p] == qf->qf_array[q];
}

算法效率：
a. 初始化：N
b. union：N
c. find：1

算法总结：
Quick-find 有一个很严重的问题，对 N 个元素执行 N 次 union 操作，数组访问次数就是 N^2 次，当N变得很大的时候，效率会很差。

（2）Quick-Union

数据结构：采用和 Quick-find 一样简单的一维数组

struct qu {int*    qu_array;int     count;
};

算法描述：若p和q具有相同的根元素，则p和q 处于连接状态。根元素的标识为 id[p] = p
find：查看p和q是否具有相同的根元素
union：将p的根元素修改为q的根元素

算法实现图示：

算法实现：

static int root(QuickUnion qu, int i)
{while (qu->qu_array[i] != i)i = qu->qu_array[i];return i;
}int qu_union(QuickUnion qu, int p, int q)
{int proot, qroot;proot = root(qu, p);qroot = root(qu, q);qu->qu_array[proot] = qroot;return 0;
}int qu_connected(QuickUnion qu, int p, int q)
{return root(qu, p) == root(qu, q);
}

算法效率：初始化、union和find均为N的操作

算法总结：

Quick-Union 算法对 union 操作进行了优化，即使是对 N 个元素执行 N 次 union，数组的访问次数最多也是 N。但是 union 和 find 都会从节点遍历到根元素，如果每次的 union 操作都是将一个大树的根元素连接到另一个只有单一元素（也就是自己本身就是根元素）的树，那么很容易出现“高树”的现象。最差的时候，两个都会是 N 的操作。

（3）Weighted-Quick-Union

数据结构：N个元素的一维数组，加上辅助的树大小的数组。

struct qu {int*    qu_array;int*    size;int     count;
};

算法描述：在Quick-union的基础上加以修改，记录树的大小，总是将较小树的根连接到较大树的根，避免出现“高树”现象
find：查看p和q是否具有相同的根
union：在Quick-union的基础上，加入一个记录树大小的数组，保证每次都是小树根连接到大树根上

算法实现图示：

算法实现（find和Quick-Union一样，只演示 union 操作）：

int qu_union(QuickUnion qu, int p, int q)
{int proot, qroot;proot = root(qu, p);qroot = root(qu, q);if (qu->size[proot] < qu->size[qroot]) {qu->qu_array[proot] = qu->qu_array[qroot];qu->size[qroot] += qu->size[proot];} else {qu->qu_array[qroot] = qu->qu_array[proot];qu->size[proot] += qu->size[qroot];}return 0;
}

算法效率：初始化：2N，union：已知根元素的情况下，效率为恒定值，find：与树的深度成正比，但是树的深度最大也只是lgN（证明过程略）。因此最差的情况下，union和find也都是 lgN。

不过 Weighted-Quick-Union 还可以继续改进，压缩从某一个节点到根的路径，将树进行更为平坦的伸展：

把查找根元素 root 的实现进行优化，实现方式有两种：
a. 增加一个for循环，将从某个节点到根节点路上的所有节点都直接连接到根节点
b. 将路径上每个节点的爷爷节点连接到根节点，只将路径减半

以 b 为例，修改 root 的操作如下：

static int root(QuickUnion qu, int i)
{while (qu->qu_array[i] != i) {qu->qu_array[i] = qu->qu_array[qu->qu_array[i]];i = qu->qu_array[i];}return i;
}

这样每次 root 执行之后，路径都会减半，加快查找效率。

算法效率的演示在下篇总结。

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