部分计算机图形学参数曲线和曲面

参数曲线和曲面基础 Ray ray@mail.buct.edu.cn 内容 曲线曲面参数表示 位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率 插值、拟合、逼近和光顺 参数曲线的代数和几何形式 连续性 参数曲面基本概念 曲线曲面参数表示 表示方法 显式表示 y=f(x) 隐式表示 f(x,y)=0 参数表示 P(t)=[x(t), y(t)] P(t)=[x(t), y(t), z(t)] 显式或隐式表示存在下述问题： 与坐标轴相关； 可能出现斜率为无穷大的情形(如垂线)； 不便于计算机编程。 参数表示实例 直线 圆 参数表示的优点 便于处理斜率无穷大的情形，不会因此而中断计算。 规格化的参数变量t∈[0, 1]，使其相应的几何分量是有界的，而不必考虑边界问题。 对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行几何变换。 便于把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间。 易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。 有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状 位置矢量、切矢量、法矢量 位置矢量 P(t)=[x(t), y(t), z(t)] 切矢量(切向量) 将弧长s作为参数，则 是单位切矢量 单位切矢量的计算 根据弧长微分公式有： 于是有 即为单位切矢量。 法矢量 与 平行的法矢称为曲线在该点的主法矢量N 矢量积 B=T×N 是第三个单位矢量，它垂直于T和N。把平行于矢量B的法矢称为曲线的副法矢量 T、N和B构成了曲线上的活动坐标架 N、B构成的平面称为法平面 N、T构成的平面称为密切平面 B、T构成的平面称为从切平面 曲率和挠率 曲率 其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率 曲率k的倒数 称为曲率半径 挠率 挠率τ的绝对值等于副法线方向(或密切平面)对于弧长的转动率 插值、拟合、逼近和光顺 插值 给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。 线性插值 假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用一个线形函数 y=ax+b 近似代替，称为的线性插值函数。 抛物线插值 已知在三个互异点x1,x2,x3,的函数值为y1,y2,y3 ,要求构造一个函数 φ(x)=ax2+bx+c 使抛物线φ(x)在结点x1,x2,x3处与f(x)在 x1,x2,x3处的值相等。 拟合 构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点(但未必通过这些点)，所构造的曲线为拟合曲线。 逼近 在计算数学中，逼近通常指用一些性质较好的函数近似表示一些性质不好的函数。在计算机图形学中，逼近继承了这方面的含义，因此插值和拟合都可以视为逼近。 光顺 光顺(Firing)指曲线的拐点不能太多。 对平面曲线而言，相对光顺的条件是： 具有二阶几何连续性(G2)； 不存在多余拐点和奇异点； 曲率变化较小。 参数曲线的代数和几何形式 代数形式 矢量形式 几何形式 将P(0)、P(1)、P’(0)和P’(1)简记为P0、P1、P’0和P’1代入 得 令 于是 上式是三次Hermite(Ferguson)曲线的几何形式. P0、P1、P’0和P’1是几何系数 F0、F1、G0和G1称为调和函数 四点式曲线 连续性 曲线间连接的光滑度有两种度量： 参数连续性 组合参数曲线在连接处具有直到n阶连续导矢，即n阶连续可微，这类光滑度称之为Cn 或n阶参数连续性。 几何连续性 组合曲线在连接处不满足Cn的某一组约束条件，称为具有n阶几何连续性，简记为Gn . 结论 若要求在结合处达到G0连续或C0连续，即两曲线在结合处位置连续。 若要求在结合处达到G1连续，就是说两条曲线在结合处在满足G0连续的条件下，并有公共的切矢量。 Q’(0)=αP’(1) 当a＝1时，G1连续就成为C1连续。 若要求在结合处达到C2连续，就是说两条曲线在结合处在满足G2连续的条件下，并有相同的曲率。 C1连续保证G1连续， C2连续能保证G2连续，但反过来不行。 也就是说Cn连续的条件比Gn连续的条件要苛刻。 参数曲面 一张定义在矩形域上的参数曲面可以表示为 可记为 参数曲面上的点 P(u0,v0) 参数曲面上一点的切向量 参数曲面上一点的法向量 第9部分 参数曲线和曲面基础 第*页 李辉 副教授 x y o 1 y 2 y ) ( x f y = ) ( x y j = 1 x 2 x x y o 1 y 2 y ) ( x f y = ) ( x y j = 1 x 2 x 3 x 3 y (a) (b) 0 P ' 0 P 1 P