考研复试之非重点课程复习

离散数学

只整理最最重要的部分

一、数理逻辑（重点）

析取或 ∨
合取且 ∧
蕴含（如果p，则q）p->q，称p为蕴含式的前件，q为蕴含式的后件。->称作蕴含联结词。p->q为假当且仅当p为真且q为假。

范式

简单析取式：仅由有限个命题变项或其否定构成的析取式称为简单析取式。
简单合取式：仅有有限个命题变项或其否定构成的合取式称为简单合取式。
析取范式：仅由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式
合取范式：仅由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式
极小项：设有n个命题变项，若在简单合取式中的每个命题变项与其否定有且仅有一个出现一次，则这样的简单合取式称为极小项。
主析取范式：如果公式A的析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
极大项：设有n个命题变项，若在简单析取式中的每个命题变项与其否定有且仅由一个出现一次，则这样的简单合取式称为极大项。
主合取范式：如果公式A的合取范式中的简单析取式全是极大项，则称该合取范式为A的主合取范式。

二、一阶逻辑

个体词
谓词
元数
全称量词
存在量词

三、集合

幂集：设A为集合，把A的全体子集构成的集合称作A的幂集，记作P(A)

交集并集差集

文氏图

四、二元关系和函数

有序对：由两个元素x和y（允许x=y）按一定的顺序排列称的二元组称作一个有序对（也称序偶），记作<x, y>也可记作(x, y)。其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。
笛卡尔积
二元关系：如果一个集合为空集或者它的元素都是有序对，则称这个集合是一个二元关系，一般记作R，对于二元关系R，如果<x, y>∈R，则记作xRy；如果<x, y>∉R，则记作xR/y

设A、B为集合，A×B的任何子集所定义的二元关系称作A到B的二元关系，特别当A=B时，则称作A上的二元关系。

关系的性质
自反性
反自反性
对称性
反对称性
传递性

关系的闭包

设R是非空集合A上的关系，有时候人们希望R具有一些有用的性质，例如，自反性（对称性和传递性）。为此，需要在R中添加一些有序对而构成新的关系R’，使得R’就是R的自反（对称或传递）闭包。

定义：设R是非空集合A上的关系，R是自反闭包（对称闭包或传递闭包）是A上的关系R’，且R’满足以下条件：

R’是自反的（对称的或传递的）
R包含于R’
对A上的任何包含R的自反关系（对称或传递关系）R"都有R’包含于R"。一般将R的自反闭包记作r®，对称闭包记作s®，传递闭包记作t®

等价关系和偏序关系
设R为非空集合A上的关系，如果A是自反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。对任何x, y∈A，如果<x, y>∈等价关系R，则记作x~y
设R为非空集合A上的等价关系，以R的不交的等价类为元素的集合称作A在R下的商集，记作A/R

设A为非空集合A上的关系，如果R是自反的、反对称的和传递的，则R为A上的偏序关系，简称偏序，记作
一个集合A与A上的偏序关系R一起称作偏序集，记作<A, R>
设<A, >为偏序集。若对任意的x, y∈A，x和y都可比，则称为A上的全序关系，且称<A, >为全序集

全序集的哈斯图是一条直线，所以，全续集也可称为线序集。
对于有穷的偏序集<A, >可以用哈斯图赖描述，实际上哈斯图就是简化的关系图。
最大元，最小元
极小元，极大元
上界、下界
最小上届上确界
最大下界下确界

函数的定义：

图论（重点）

空图：顶点集为空的图。
n阶图：有n个定点的图（无向图或有向图）称为n阶图。没有一条边的图称为零图。一阶零图，即只有一个定点、没有边的图，称为平凡图。

握手定理：度数至和为两倍边的条数。
推论：任何图，度数为奇数的顶点个数为偶数。
重数：在无向图中，关联一对顶点的无向图如果多于一条，则称这些边为平行边。平行边的条数为重数。
在有向图中，如果有多于1条的边的始点和终点相同，则称这些边为有向平行边，简称平行边。
含平行边的图称为多重图。既不含平行边也不含环的图称为简单图。

简单图：没有平行边也不含自环的图
完全图：
子图：
母图：
真子图：
导出子图（顶点导出的子图，边导出的子图）：
生成子图：

通路：
回路：
初级通路：顶点各异的通路
初级回路：除起点终点各异的回路
简单通路：所有边互不相同的通路
简单回路：起始点和终点相同的简单通路
复杂通路：边不各异的通路
复杂回路：边不各异的回路
除起始点外，各顶点互不相同、边互不相同，则称该通路为初级通路或路径。当起始点相同时，称初级通路为初级回路或圈。
有边重复出现的通路为复杂通路，有边重复出现的回路为复杂回路。
连通图：若无向图G是平凡图或G中任意两顶点都是连通的，则称G为连通图；否则，称G为非连通图。

设D是一个有向图，如果略去D中各有向边的方向后所得的无向图是连通图，则称D是弱连通图，简称连通图。若D中任意两顶点至少有一个可达另一个，则称D是单向连通图。若D中任意一对顶点都是相互可达的，则称D是强联通图。
显然，强连通图一定是单向连通图，单向连通图一定是弱连通图

点割集割点
边割集割边（桥）

二分图

欧拉回路：经过图（无向图或有向图）中的每条边一次且仅由一次并且行遍图中每个顶点的回路（通路），称为欧拉回路（欧拉通路）。存在欧拉回路的图称为欧拉图。
哈密顿图：经过图中每个顶点一次且仅一次的回路（通路）称为哈密顿回路（通路），存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。

树（重点）

生成树：原图的极小连通子图
最小生成树：无相连通带权图的最小生成树

信息安全

感觉这门课被问到的概率还是挺大的，特别是这门课上学的DES、RSA可以结合计算机网络HTTPS来讲。为了准备复试，大概写下一些重要的知识点吧。最重要的是要了解对称加密和非对称加密。

安全攻击的分类

Interruption（阻断）: 破坏Availability
Interception（窃听）：破坏Confidentiality
Modification（修改）：破坏Integrity
Fabrication（伪装）：破坏Authentication

主动攻击：主要有信息内容泄露、流量分析，难以检测易防止
被动攻击：主要有伪装、重复、信息修改、延迟服务，易检测难防止

网络安全基本要求：

CANADA

Confidentiality （保密性）
Authentication （可用性）
Nonrepudiation （防抵赖）
Availability （完整性）
Deniability/Integrity （可控性）
Access control

传统密码学可分为两种：transposition（转位） & substitution（替代）
Diffusion（扩散）：将每一位明文的影响尽可能迅速地作用到较多的输出密文位中，以便在大量的密文中消除明文的统计结构，并且使每一位密钥的影响尽可能迅速地扩展到较多的密文位中，以防对密钥进行逐段破译。
Confusion（混淆）：使密文的统计特性与密钥的取值之间的关系尽可能复杂化

对称加密（重点）

对称加密的概念：采用单钥密码系统的加密方法，同一个密钥可以同时用作信息的加密和解密，这种加密方法称为对称加密，也称为单密钥加密。
DES（Data Encryption Standard）算法：即数据加密标准，是一种使用密钥加密的块算法。
基本变换函数有：P-BOX，S-BOX，XOR，Circular Shift， Swap， Split/Combine
参数：64位块输入、56位秘钥、16个48位子秘钥、函数、8个带有四行16列的S-box
AES：（Advanced Encryption Standard）高级数据加密标准
秘钥长度：采用对称分组密码体制，密钥的长度最少支持为128、192、256，分组长度128位，算法应易于各种硬件和软件实现。

多重加密
2-DES算法：
2-DES算法是不安全的，中间相遇攻击可以大幅减少秘钥计算量
假如已知一对明文与密文
即可以对密钥空间2⁵⁶的所有可能求明文的加密结果并存储至数组，再对密钥空间2⁵⁶所有可能求密文的解密结果，判断该结果是否在数组中，如果在就称为中间相遇。
3-DES算法：更加安全，但同时需要更大的开销

分组密码：加密模式

ECB（Electronic codebook）：每块明文独立地用相同的秘钥加密
CBC（Cipher Block Chaining）：在该方案中，加密算法的输入为当前明文块与前一个密文块的异或;每个块使用相同的秘钥。
CFB（Cipher feedback）
OFB（Output feedback）
CTR（Counter）
秘钥分配
Key Distribution Scenario （KDC）

非对称加密（重点）

非对称加密：非对称加密算法需要两个密钥：公开密钥（publickey:简称公钥）和私有密钥（privatekey:简称私钥）。公钥与私钥是一对，如果用公钥对数据进行加密，只有用对应的私钥才能解密。因为加密和解密使用的是两个不同的密钥，所以这种算法叫作非对称加密算法。
Deffie-Hellman算法

1、首先Alice保存自己的私钥a（随机数），Bob也保存自己的私钥b（随机数）
2、Alice计算 A = g^a mod p，并将g，p，A发给Bob
3、Bob计算 B = g^b mod p，然后将B发给Alice
4、Alice得到对称密钥K = B^a mod p = (g^b mod p)^a mod p = g^ab mod p
5、Bob同样得到对称密钥K = A^b mod p = (g^a mod p)^b mod p = g^ab mod p

RSA算法步骤：
1、选择两个大的质数，p与q
2、计算n = p * q;
3、计算n的欧拉函数φ(n)，称作L，
根据公式φ(n) = (p-1)(q-1)，算得φ(n) = (p-1)(q-1)
4、随机选择一个整数e，也就是公钥中用来加密的那个数字，条件是1 < e < φ(n)，且e与φ(n)互质。
5、计算e对于φ(n)的模逆元d。也就是秘钥当中用来解密的那个数字。“模逆元”指一个整数d，可以使得e·d被φ(n)除的余数为1。e·d ≡ 1 (mod φ(n))
6、将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥。
RSA为什么安全？
给定n，不可能算出p和q
给定n和e算不出d
对于一个很大的数n，分解它是非常困难的
RSA的应用
加密：公钥加密，私钥解密
数字签名：私钥加密，公钥解密

DES算法与RSA比较

DES优点：密钥较短，加密处理简单，加解密速度快，适用于加密大量数据的场合。
缺点：密钥单一，不能由其中一个密钥推导出另一个密钥。
RSA算法：
优点：应用广泛，加密密钥和解密密钥不一样，一般加密密钥称为私钥。解密密钥称为公钥，私钥加密后只能用公钥解密，当然也可以用公钥加密，用私钥解密。
缺点：密钥尺寸大，加解密速度慢，一般用来加密少量数据。

散列函数

组合应用PGP加密算法

机器学习

感觉被问到的概率比较小

机器学习基本任务

回归：解决分类、预测问题
分类：分类、识别、检测
聚类：分割（图像、视频）、数据挖掘、字典学习
表征：特征提取、数据重构、信息检索

方法分类

有监督学习
数据都有明确的标签，根据机器学习产生的模型
可以将新数据分到一个明确的类或得到一个预测
值。
无监督学习
数据没有标签，机器学习出的模型是从数据中提
取出来的模式（提取决定性特征或者聚类等）
半监督学习
部分数据有明确的标签，根据机器学习产生的模
型可以将新数据分到一个明确的类或得到一个预
测值。

数据划分

训练集（Training Set）
– 用来训练模型或确定模型参数。
测试集（Testing Set）
– 测试已经训练好的模型的推广能力。
验证集（Validation set）可选
– 用来做模型选择（model selection），即做模型的最
终优化及确定的。
数据划分策略之常见划分策略：
留出法、交叉验证法、自助法

性能度量

均分误差、误差与精度、查准率、查全率、F1 Score，ROC、AUC

回归分析

定义：确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关
系的一种统计分析方法。
线性回归、逻辑回归、多项式回归等

最小二乘法与极大似然法

牛顿法与梯度下降法

牛顿法和梯度下降法是求解最优化问题的常见的两种算法。
 前者使用割线逐渐逼近最优解，后者使得目标函数逐渐下降。
 牛顿法的收敛速度快，但是需要二阶导数信息。
 梯度下降法计算速度快，但是需要人工确认步长参数。
 BB步实际上借助了二阶导数信息(

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