不含主导分量的小尺度衰落

考虑以下情形：由不同的相互作用体反射/散射而产生了N个均匀平面波（多径分量）。相互作用体和发射机静止不动，接收机以速度vvv移动，假设多径分量的绝对振幅在观察区域内不变。这样，振幅平方和为：
∑i=1N∣ai2∣=Cp\sum_{i=1}^N|a_i^2|=C_pi=1∑N∣ai2∣=Cp
其中，CpC_pCp为常量，然而相位ϕi\phi _iϕi变化剧烈，可以近似为在[0,2π][0,2\pi][0,2π]均匀变化的随机变量。由第iii个多径分量引起的接收机场强的实部为∣ai∣cos(ϕi)|a_i|cos(\phi_i)∣ai∣cos(ϕi)，虚部为∣ai∣sin(ϕi)|a_i|sin(\phi_i)∣ai∣sin(ϕi)。总场强E(t)E(t)E(t):
E(t)=∑i=1N∣ai∣cos[2πfct−2πνmaxcos(γi)t+ϕi]E(t)=\sum_{i=1}^N|a_i|cos[2\pi f_ct-2\pi\nu_{max}cos(\gamma_i)t+\phi_i]E(t)=i=1∑N∣ai∣cos[2πfct−2πνmaxcos(γi)t+ϕi]
用同相分量和正交分量表示：
EBP(t)=I(t)cos(2πfct)−Q(t)sin(2πfct)E_{BP}(t)=I(t)cos(2\pi f_ct)-Q(t)sin(2\pi f_ct)EBP(t)=I(t)cos(2πfct)−Q(t)sin(2πfct)
其中：
I(t)=∑i=1N∣ai∣cos[−2πνmaxcos(γi)t+ϕi]I(t)=\sum_{i=1}^N|a_i|cos[-2\pi\nu_{max}cos(\gamma_i)t+\phi_i]I(t)=i=1∑N∣ai∣cos[−2πνmaxcos(γi)t+ϕi]
Q(t)=∑i=1N∣ai∣sin[−2πνmaxcos(γi)t+ϕi]Q(t)=\sum_{i=1}^N|a_i|sin[-2\pi\nu_{max}cos(\gamma_i)t+\phi_i]Q(t)=i=1∑N∣ai∣sin[−2πνmaxcos(γi)t+ϕi]
I(t)I(t)I(t)和Q(t)Q(t)Q(t)都是许多随机变量之和，其中没有一个占主导地位，根据中心极限定理，这种变量之和的概率密度函数是正态（高斯）分布，与组成波振幅的具体概率密度函数无关。一个零均值的高斯随机变量的概率密度函数为：
pdfx(x)=12πσexp(−x22σ2)pdf_x(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp(-\frac{x^2}{2\sigma^2})pdfx(x)=2πσ1exp(−2σ2x2)
其中，σ2\sigma^2σ2为方差。
接收信号相位服从[0,2π][0,2\pi][0,2π]的均匀分布，接收信号振幅rrr服从瑞利分布：
pdfr(r)=rσ2exp(−r22σ2)0≤r<∞pdf_r(r)=\frac{r}{\sigma^2}exp(-\frac{r^2}{2\sigma^2})\space\space\space 0\leq r<\inftypdfr(r)=σ2rexp(−2σ2r2) 0≤r<∞
r<0r<0r<0的概率密度为0，因为振幅只能是正数。
瑞利分布性质：

均值rˉ=σπ2\bar{r}=\sigma\sqrt{\frac{\pi}{2}}rˉ=σ2π
均方差r2ˉ=2σ2\bar{r^2}=2\sigma^2r2ˉ=2σ2
方差r2ˉ−(rˉ)2=2σ2−σ2π2=0.429σ2\bar{r^2}-(\bar{r})^2=2\sigma^2-\sigma^2\frac{\pi}{2}=0.429\sigma^2r2ˉ−(rˉ)2=2σ2−σ22π=0.429σ2
中值r50=1.18σr_{50}=1.18\sigmar50=1.18σ
最大值maxpdf(r)max{pdf(r)}maxpdf(r)发生在r=σr=\sigmar=σ处
累积分布函数cdf(x)cdf(x)cdf(x)定义为随机变量小于xxx的概率，因而累积分布函数是概率密度函数的积分：
cdf(r)=P(R<r)=∫−∞rpdf(u)ducdf(r)=P(R<r)=\int_{-\infty}^ rpdf(u)ducdf(r)=P(R<r)=∫−∞rpdf(u)du
对瑞利概率密度函数应用此公式：
cdf(r)=1−exp(−r22σ2)cdf(r)=1-exp(-\frac{r^2}{2\sigma^2})cdf(r)=1−exp(−2σ2r2)
当rrr很小时：
cdf(r)≈r22σ2cdf(r)\approx\frac{r^2}{2\sigma^2}cdf(r)≈2σ2r2

含主导分量的小尺度衰落

当一个主导的多径分量存在（如一个视距分量或一个主导的镜面反射分量）存在，衰落统计量会发生变化。
振幅的概率密度函数类似于推导瑞利分布的方法，假设视距分量为零相位，所以它是纯实数。因而实部是一个非零均值的高斯分布，虚部是一个零均值的高斯分布。振幅rrr和相位ψ\psiψ的联合概率密度函数为：
pdfr,ψ(r,ψ)=r2πσ2exp(−r2+A2−2rAcos(ψ)2σ2)pdf_{r,\psi}(r,\psi)=\frac{r}{2\pi\sigma^2}exp(-\frac{r^2+A^2-2rAcos(\psi)}{2\sigma^2})pdfr,ψ(r,ψ)=2πσ2rexp(−2σ2r2+A2−2rAcos(ψ))
AAA为主导分量的振幅，与瑞利情形相反，这种分布不可分离，必须对相位ψ\psiψ进行积分而得到振幅的概率密度函数，反之亦然。
振幅的概率密度函数服从莱斯分布：
pdfr(r)=rσ2exp(−r2+A22σ2)I0(rAσ2)0≤r<∞pdf_r(r)=\frac{r}{\sigma^2}exp(-\frac{r^2+A^2}{2\sigma^2})I_0(\frac{rA}{\sigma^2})\space\space\space 0\leq r<\inftypdfr(r)=σ2rexp(−2σ2r2+A2)I0(σ2rA) 0≤r<∞
I0(x)I_0(x)I0(x)为第一类修正贝塞尔函数，阶数为0。莱斯分布随机变量的均方值：
r2ˉ=2σ2+A2\bar{r^2}=2\sigma^2+A^2r2ˉ=2σ2+A2，视距分量功率与漫射功率之比A2/(2σ2)A^2/(2\sigma^2)A2/(2σ2)称为莱斯因子KrK_rKr
视距分量越强，发生深衰落的机会越少，当KrK_rKr趋于零时，莱斯分布变为高斯分布，但对于大的KrK_rKr值则近似为均值为AAA的高斯分布。

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