数据结构与算法之左高树

知识点来源于参考书籍《数据结构、算法与应用》，本人仅作整理与记录，方便日后复习查看。

左高树的定义：

设x是扩充二叉树的一个结点，并令left_child(x)和right_child(x)分别表示内部结点的左、右儿子。定义shortest(x)为从x到一个外部结点的最短路程长度。

令s (x)为从节点x到它的子树的外部节点的所有路径中最短的一条，根据s(x)的定义可知，

若x是外部节点，则s的值为0，若x为内部节点，则它的s值是：

其中L与R分别为x的左右孩子。

左高树是一棵二叉树，且如果该二叉树不空，则对其中的每个内部结点x，都有：

Shortest(left_child(x))>= Shortest(right_child(x))。

一棵二叉树称为高度优先左高树，当且仅当其中任何一个内部节点的左孩子的s值都大于或等于右孩子的S值。如果一颗HBLT同时还是大根树，则称为最大HBLT。如果一棵HBLT同时还是小根树，则成为最小HBLT。

一棵二叉树称为重量优先左高树，当且仅当其中任何一个内部节点的左孩子的W值都大于或等于右孩子的W值。（若x是内部节点，则他的重量是其孩子节点的重量之和加1）.

最大HBLT的插入： 最大HBLT的插入操作可利用最大HBLT的合并操作来实现，假定将元素x插入名为H的最大HBLT中。如果构建一棵仅有一个元素x的最大HBLT，然后将其与H进行合并，那么合并之后的最大HBLT将包括H的全部元素和元素x.。因此，要插入一个元素，可以先建立一棵新的只包含这个元素的HBLT，然后将这棵HBLT与原来的HBLT进行合并。

最大HBLT的删除：最大元素在根中。如果根本删除，则剩下左右孩子，然后以左右孩子为最大HBLT进行合并，便是删除后的结果。

两棵最大HBLT的合并（左高树中最重要的操作）：合并策略最好采用递归来实现。令A、B为需要合并的两棵最大HBLT。若一个为空，则另一个便是合并后的结果。假设两者均不为空，为实现合并，先比较两个根元素，较大者作为合并后的根。假定A的根比较大，且左子树为L。令C是A的右子树与B合并而成的HBLT。A与B合并的结果是以A为根，以L和C为子树的最大HBLT。如果L的s值小于C的s值，则C为左子树，L为右子树。以下是合并两棵左高树的C++函数meld。该函数首先处理特殊情况：要合并的两棵树至少有一棵树为空。当两棵树都不为空时，要确保x的根元素大于y的根元素，否则x与y进行交换。接下来，通过递归，要将x的右子树与y进行合并。合并后，为保证结果是最大的HBLT，x的左右孩子可能需要交换，这时候需要计算s值。

template<class T>
void maxHblt<T>::meld(binaryTreeNode<pair<int,T>> * &x, binaryTreeNode<pair<int,T>> * &y)
{//合并分别以*x，*y为根的两棵左高树//合并后的左高树以x为根，返回x的指针if(y== NULL)return ;if(x==NULL){x = y;return;}//x和y均不为空,必要时交换x,yif(x->element < y->element){swap(x,y);}//将x的右子树与y进行合并meld(x->rightChild,y);//为保证结果是最大HBLT，需要计算子树的S值大小if(x->leftChild == NULL){//左子树为空，交换子树x->leftChild = x->rightChild;x->rightChild = NULL;x->element.first = 1;}else{if(x->leftChild->element.first < x->rightChild->element.first)swap(x->leftChild,x->rightChild);//右子树的s值小，故将右子树s值加一x->element.first = x->righChild->element.first+1; }}

最大HBLT的初始化：初始化过程是将n个元素逐个插入最初为空的最大HBLT中，所需的时间为 $O(nlogn )$ 。为得到具有线性时间的初始化算法，我们首先创建n个仅含一个元素的最大HBLT，这n棵树组成一个FIFO队列，然后从队列中依次成对删除HBLT，然后将其合并后再插入到队列末尾，直到只有一个HBLT为止。以下是最大HBLT的初始化，代码用一个基于数组的FIFO队列保存在初始化过程中产生的最大HBLT。在第一个for循环中，产生了n个只有一个元素的最大HBLT，并将其插入到初试为空的队列中。在第二个for循环中，每次从队列中删除两个最大的HBLT进行合并，然后将结果加入队列中。当for循环结束后，队列中仅含有一棵最大HBLT。

template<class T>
void maxHblt<T>::initialize(T* theElements, int theSize)
{//用数组theElements[1:theSize]建立左高树arrayQueue<binaryTreeNode<pair<int,T>>*> q(theSize);erase();                           //使*this为空//初始化树的队列for(int i=1;i<=theSize;i++){//建立只有一个节点的树q.push(new binaryTreeNode<pair<int,T>>(pair<int,T>(1,theElements[i])));}//从队列中重复取出两棵树进行合并for(int i=1;i<=theSize-1;i++){//从队列中删除两棵树合并binaryTreeNode<pair<int,T>> *b = q.front();q.pop();binaryTreeNode<pair<int,T>> *c = q.front();q.pop();meld(b,c);//将合并后的树插入队列q.push(b);}if(theSize>0)root = q.front();treeSize = theSize;
}

其他方法：说明：在一棵最大HBLT中，节点的数据类型是binaryTreeNode<pair<int,T>>;pair的第一个成员是节点的s值，第二个成员是优先级队列元素。

template<class T>
void maxHblt<T>::meld(maxHblt<T> & theHblt )
{//将左高树*this与theHblt合并meld(root,theHblt.root);treeSize  = treeSize+theHblt.treeSize;theHblt.root = NULL;theHblt.treeSize = 0;
}template<class T>
void maxHblt<T>::push(const T& theElement )
{//建立只有一个元素的左高树，其实就是建立一棵二叉树binaryTreeNode<pair<int,T>> *q = new binaryTreeNode<pair<int,T>>(pair<int,T>(1,theElement));//将单元素左高树合并meld(root,q);treeSize ++;
}template<class T>
void maxHblt<T>::pop()
{if(root == NULL)throw queueEmpty();//树不空binaryTreeNode<pair<int,T>> *left = root->leftChild;binaryTreeNode<pair<int,T>> *right = root->rightChild;delete root;root = left;meld(root,right);treeSize--;
}

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