实验一.MATLAB求解优化问题

1.作出下列函数图形，观察所有的局部极大、极小和全局最大、最小值点的粗略位置，并用MATLAB函数fminbnd和fminsearch求各极值点的确切位置。

1)作图：

syms x
y1=x^2*sin(x^2-x-2);
ezplot(y1,[-2,2])
grid on

观察图形

%%利用函数fminbnd搜索极小点
y2=@(x)x.^2.*sin(x.^2-x-2);
[x,f]=fminbnd(y2,-2,2)
%%结果只是搜到局部极小点
x =-0.7315   f =-0.3582
%%改变搜索范围，得到
[x,f]=fminbnd(y2,0,2)
x = 1.5951   f =-2.2080
%%同理改变搜索范围，即可搜到全局最优解，过程略！%%利用函数fminsearch搜索最优解
[x,f]=fminsearch(y2,-2)
%%得到全局最优解
x =-2.1708  f =-4.6438%%寻找极大值或最大值点，只需寻找-y的极小值或最大值点即可，在此省略！

2)作图：

syms x
y3=3*x^5-20*x^3+10;
ezplot(y3,[-3,3])
grid on

观察图形

y4=@(x)3*x.^5-20*x.^3+10;
[x,f]=fminbnd(y4,-3,3)
%%得结果
x = 2.0000  f =-54.0000%在x=2附近搜索
[x,f]=fminsearch(y4, 2)
% 结果
x =2.0000
f =-54.0000
%在x=-2搜索结果非常小Exiting: Maximum number of function evaluations has been exceeded- increase MaxFunEvals option.Current function value:
-98201718236885578000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.000000
x = -1.2677e+29
f = -9.8202e+145

3)作图：

syms x
y5=abs(x^3-x^2-x-2);
ezplot(y5,[0,3])
grid on

观察图形

%%%搜索极值点方法类似，省略

2.考虑函数

%%作图观察
syms x y
z=y^3/9+3*x^2*y+9*x^2+y^2+x*y+9;
ezmesh(z,[-2,1,-7 1])

%%似乎在x=0,y=0的附近有极小值，故在点（0，0）附近搜索
%%利用fminsearch搜索的结果z1=@(x)x(2)^3/9+3*x(1)^2*x(2)+9*x(1).^2+x(2)^2+x(1)*x(2)+9;
[x,fval]=fminsearch(z1,[0 0])x =0     0
fval =  9%%利用fminunc搜索z1=@(x)x(2)^3/9+3*x(1)^2*x(2)+9*x(1).^2+x(2)^2+x(1)*x(2)+9;
[x,fval]=fminsearch(z1,[0 0])%结果
Initial point is a local minimum.
Optimization completed because the size of the gradient at the initial point
is less than the default value of the function tolerance.
<stopping criteria details>
x1 =0     0
fval1 =   9

3.利用fmincon函数求解以下优化问题：

%首先定义非线性约束函数，函数名自拟，但结构要包含不等与等约束条件，并单独保存成M函数文件
function [c ceq]=nonf(x)
c=9-x(1)^2-x(2)^2;
ceq=[];
end

%在命令窗口或脚本窗口输入以下命令：%定义目标函数
fun3=@(x) x(1)^4-4*x(1)-8*x(2)+15;
%定义非线性约束
noncon=@(x) nonf(x);
A=[2 3;-1,1];
b=[2;5];
[x,fval]=fmincon(fun3,[0,1],A,b,[],[],[],[],noncon)

%运算结果为：

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the default value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the default value of the constraint tolerance.

x =

-2.1454 2.0969

fval =

27.9921

即，找到局部最优解x=（-2.1454,2.0969）,最优值为27.9921

%亦可以按照面向问题式求解：
clc,clear,
prob=optimproblem;
x=optimvar('x',2);
prob.Objective=x(1)^2-4*x(1)-8*x(2)+15;
prob.Constraints.con1=x(1)^2+x(2)^3>=9;
prob.Constraints.con2=[2*x(1)+3*x(2)<=2;x(2)-x(1)<=5];
[x,fval,ex,out]=solve(prob)

总结：

1、fminbnd函数是针对于一元函数求最小值的函数，它是采用的黄金分割法和抛物线插值法，只能求一元连续函数在闭区间上的极值，有时只能求局部极值，若在边界达到极值，求解速度较慢;

2、fminsearch函数是求解多元函数最小值，需给定初值x0，它采用复形搜索法;

3、fminunc与fminsearch类似，它采用大规模内点反射牛顿迭代法或中小规模的拟牛顿法，速度快于fminsearch;

故，对于求解极值问题可以优先考虑使用fminunc函数.

答案供参考,如有错误请自行改正，本人只是随意分享之前的作业，代码均来源于网络+个人稍微修改，认为有用可参考哈～

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