四平方和定理 leetcode279 c++

给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

示例 1:

输入: n =
12

输出: 3
解释:
12 = 4 + 4 + 4.
示例 2:

输入: n =
13

输出: 2
解释:
13 = 4 + 9.

很多人第一眼看到这个问题，想到的第一种做法就是使用贪心算法，但是对于这个问题是不适用的，例如：

如果贪心来做，12 = 9 + 1 + 1 + 1，所以答案为4了，但是实际答案是3。

Lagrange 四平方定理： 任何一个正整数都可以表示成不超过四个整数的平方之和。

引理 1 (Euler 四平方恒等式)： (a2+b2+c2+d2)(w2+x2+y2+z2) = (aw+bx+cy+dz)2 + (ax-bw-cz+dy)2 + (ay+bz-cw-dx)2 + (az-by+cx-dw)2，其中 a, b, c, d, w, x, y, z 为任意整数。

引理 2：如果一个偶数 2n 是两个平方数之和，那么 n 也是两个平方数之和。

引理 3：如果 p 是一个奇素数，则存在正整数 k，使得 kp = m2+n2+1 (其中 m， n 为整数)。

还有一个重要的推论：

我们可以先判断这个数是否满足，如果是，那就ans=4；

完整代码为

class Solution{
private:int is_square(int n){int sqrt_n = (int)(sqrt(n)); //强制转换 int i；float f； f=（float）i;return (sqrt_n*sqrt_n == n);}
public:int numSquares(int n){// If n is a perfect square, return 1.if (is_square(n)){return 1;}// The result is 4 if and only if n can be written in the // form of 4^k*(8*m + 7). Please refer to // Legendre's three-square theorem.while ((n & 3) == 0) {// n%4 == 0  n >>= 2; //左移2位  4^a}if ((n & 7) == 7){ // n%8 == 7return 4;}// Check whether 2 is the result.int sqrt_n = (int)(sqrt(n));for (int i = 1; i <= sqrt_n; i++){if (is_square(n - i*i)){return 2;}}return 3;  //其他是3}
};

不过这题用动态规划很容易理解

class Solution{
public:int numSquares(int n)    {if (n <= 0)        {return 0;}vector<int> cntPerfectSquares(n + 1, INT_MAX);cntPerfectSquares[0] = 0;for (int i = 1; i <= n; i++)   {// For each i, it must be the sum of some number (i - j*j) and // a perfect square number (j*j).for (int j = 1; j*j <= i; j++)  {cntPerfectSquares[i] = min(cntPerfectSquares[i], cntPerfectSquares[i - j*j] + 1);}}return cntPerfectSquares.back();}
};

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