大三上算法设计和分析 老师：付豪
2024-06-23 13:24:48
目录
第一章：递归和分治
1.利用递归函数计算n!
2. 斐波那契数列(2018年贝壳网校招笔试)
3.(蓝桥杯2019年第十届真题)Fibonacci数列与黄金分割
4.（笔试真题）小明爬楼梯
5.整数因子分解问题：计算正整数n有多少种因子大于1的不同的分解式：
6.二分搜搜索
7.归并算法
8.排序算法
9.汉诺塔
10棋盘覆盖
第二章：回溯+DFS
1.走迷宫
2.全排列
3.油田问题
4.N皇后
回溯测试main主函数
============================我是分割线===============================
第一章：递归和分治
1.利用递归函数计算n!
#include<iostream>
using namespace std;
int fib(int n);int main()
{undefinedint n;cin>>n;cout<<fib(n)<<endl;
}int fib(int n)
{undefinedif (n==1) return 1;
else return fib(n-1)*n;}2. 斐波那契数列(2018年贝壳网校招笔试)
2斐波那契数列是指这样的数列：数列的第一个和第二个数都为1，接下来每个数都等于前面2个数之和。给出一个正整数k，要求斐波那契数列中第k个数是多少？
输入描述：输入一行，包含一个正整数k。(0<k<47)
输出描述：输出一行，包含一个正整数，表示一个斐波那契数列中第k个数的大小。
输入：19
输出：4181#include<iostream>
using namespace std;
int fib(int n);int main()
{undefinedint n;cin>>n;cout<<fib(n)<<endl;
}int fib(int n)
{undefinedif (n==1||n==2) return 1;
else return fib(n-1)+fib(n-2);}3.(蓝桥杯2019年第十届真题)Fibonacci数列与黄金分割
/*3.(蓝桥杯2019年第十届真题)
Fibonacci数列与黄金分割
题目：Fibonacci数列是非常著名的数列：F[1]=1，F[2]=1，对于i>3，F[i]=F[i-1]+F[i-2]。
Fibonacci数列有一个特殊的性质，前一项与后一项的比值，F[i]/F[i+1]，会趋近于黄金分割。为了验证这一性质，给定正整数N，请你计算F[N]/F[N+1]，并保留8位小数。
输入：一个正整数N。（1<=N<=2000000000）
输出：F[N]/F[N+1]。（答案保留8位小数）
样例输入：2
样例输出：0.50000000*/#include<iostream>
using namespace std;
int fib(int n);int main()
{undefinedint n;cin>>n;cout<<doublb(fib(n))/fib(n+1)<<endl;
}int fib(int n)
{undefinedif (n==1||n==2) return 1;
else return fib(n-1)+fib(n-2);}
4.（笔试真题）小明爬楼梯
4.（笔试真题）
小明爬楼梯，一次只能上1级或者2级台阶，一共有n级台阶，小明共有多少种方法上台阶？
输入：输入一行，包含一个正整数n。
输出：输出一行，包含一个正整数，表示小明上n级台阶的方法数。
样例输入：3
样例输出：4#include<iostream>
using namespace std;
int fib(int n);int main()
{undefinedint n;cin>>n;cout<<fib(n)<<endl;
}int fib(int n)
{undefined
if(n==1) return 1;
elsereturn fib(n-1)+fib(n-2);}5.整数因子分解问题：计算正整数n有多少种因子大于1的不同的分解式：
5.整数因子分解问题：计算正整数n有多少种因子大于1的不同的分解式：
例如：n=12，共有8种：
12=12 12=2*6 12=6*2 12=3*2*2
12=4*3 12=2*2*3 12=3*4 12=2*3*2#include<iostream>
using namespace std;int f(int n)
{undefinedint count=0;for(int i=2;i<n;i++)//+=为什么{undefinedif(n%i==0) {undefinedcount++;count+=f(n/i); //开始分解2*6 6*2 3*4 4*3 分解三个数 n/i}}return count;
} void main()
{undefinedint n;cin >> n;cout<<f(n)+1<<endl;//+1原因i=2开始循环}6.二分搜搜索
======================================================================================
#include<iostream>
using namespace std;int bs(int a[],int num)
{int i=0,j=9;while(i<=j){int mid=(i+j)/2;if(a[mid]=num) return mid;else if(a[mid]>num) j=mid-1;else i=mid+1;}return -1;
}int bsc(int a[],int num,int i,int j)
{int mid=(i+j)/2;if(i>j) return -1;else if (a[mid]=num) return mid;else if (a[mid>num]) return bsc(a,num,i,mid-1)else return return bsc(a,num,mid+1,j)
}int main()
{int a[]={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};int num=2;cout << bs(a,num) << endl;cout << bsc(a,num,0,8)<< endl;
}7.归并算法
#include<time.h>
#include<iostream>
using namespace std;
void MergeSort(int *a,int left,int right,int *b)
{void Merge(int *a,int left,int right,int mid,int *b);if(left < right){int mid=(left+right)/2;MergeSort(a,left,right,b);MergeSort(a,mid+1,right,b);Merge(a,left,right,mid,b);}
}
void Merge(int *a,int left,int right,int mid,int *b)
{int i=left,j=mid+1,k=0;while(i<=mid && j<=right){if(a[i]<a[j]) b[k++]=a[i++];else b[k++]=a[j++];}while(i<=mid) b[k++]=a[i++];while(j<=right) b[k++]=a[j++];for(int x=0;x<k;x++) a[left+x]=b[x];
}void printArr(int *a,int len)
{for(int i=0;i<len;i++)cout << a[i] << " ";cout <<endl;
}int main()
{int a[10],b[10];
/* srand((unsigned)time(NULL));for(int i=0;i<10;i++){a[i]=rand()%10;}*/printArr(a,10);MergeSort(a,0,9,b);printArr(a,10);
}
8.排序算法
#include<windows.h>
#include<time.h>
#include<iostream>
using namespace std;int arrLen;
int* initArr(){//get a initial arraycout << "Input array's length:";cin >> arrLen;int *arr = new int[arrLen];srand((unsigned)time(NULL));for(int i = 0; i < arrLen; i++)arr[i] = rand()%arrLen;return arr;
}void printArr(int *a, int len){//print arrayfor(int i = 0; i < len; i++)cout << a[i] << " ";cout << endl;
}int* bubbleSort(int *a, int len){//bubble sortfor(int i = len-1; i > 0; i--)for(int j = 0; j < i; j++)if(a[j] > a[j+1]){int temp = a[j];a[j] = a[j+1];a[j+1] = temp;}return a;
}int* selectionSort(int *a, int len){//selection sortfor(int i = 0; i < len; i++){int index = i;for(int j = i+1; j < len; j++){if(a[j] < a[index]) index = j;}int temp = a[i];a[i] = a[index];a[index] = temp;}return a;
}int* mergeSort(int *a,int left, int right, int *b){//merge sortvoid mSort(int *a, int left, int right, int mid,int *b);if(left < right){int mid = (left + right) / 2;mergeSort(a,left, mid,b);mergeSort(a,mid+1,right,b);mSort(a,left,right,mid,b);return a;}return a;
}void mSort(int *a, int left, int right, int mid,int *b){int i = left, j = mid+1,k = 0;while(i <= mid && j <= right){if(a[i] < a[j]) b[k++] = a[i++];else b[k++] = a[j++];}while(i <= mid) b[k++] = a[i++];while(j <= right) b[k++] = a[j++];for(int x = 0; x < k; x++) a[left+x] = b[x];
}int* quickSort(int *a, int left, int right){//quick sortint qSort(int *a, int left, int right);if(left < right){int mid = qSort(a,left,right);quickSort(a,left,mid-1);quickSort(a,mid+1,right);return a;}return a;
}int qSort(int *a, int left, int right){int i = left, j = right+1, x= a[left];while(true){while(a[++i] < x && i <= right);while(a[--j] > x);if(i >= j) break;int temp = a[i];a[i] = a[j];a[j] = temp;}a[left] = a[j];a[j] = x;return j;
}int main(){DWORD time_start,time_end;long time_total;//init arrayint *a = initArr();int *b = new int[arrLen];int *temp = new int[arrLen];//print array//printArr(a,arrLen);//1.bubble sortcout << "1.Bubble sort: \n";memcpy(temp,a,arrLen*sizeof(int));time_start = GetTickCount();//printArr(bubbleSort(temp,arrLen),arrLen);//bubbleSort(temp,arrLen);time_end = GetTickCount();time_total = time_end - time_start;cout << "time_start:" << time_start/1000.0 << "s \n" << "time_end:" << time_end / 1000.0 << "s \n" << "time_total:" << time_total/1000.0 << "s \n" << endl;//2.selection sortcout << "2.Selection sort: \n";memcpy(temp,a,arrLen*sizeof(int));time_start = GetTickCount();//printArr(selectionSort(temp,arrLen),arrLen);//selectionSort(temp,arrLen);time_end = GetTickCount();time_total = time_end - time_start;cout << "time_start:" << time_start/1000.0 << "s \n" << "time_end:" << time_end / 1000.0 << "s \n" << "time_total:" << time_total/1000.0 << "s \n" << endl;//3.merge sortcout << "3.Merge sort: \n";memcpy(temp,a,arrLen*sizeof(int));time_start = GetTickCount();//printArr(mergeSort(temp,0,arrLen-1,b),arrLen);mergeSort(temp,0,arrLen-1,b);time_end = GetTickCount();time_total = time_end - time_start;cout << "time_start:" << time_start/1000.0 << "s \n" << "time_end:" << time_end / 1000.0 << "s \n" << "time_total:" << time_total/1000.0 << "s \n" << endl;//4.quick sortcout << "4.Quick sort: \n";memcpy(temp,a,arrLen*sizeof(int));time_start = GetTickCount();//printArr(quickSort(temp,0,arrLen-1),arrLen);quickSort(temp,0,arrLen-1);time_end = GetTickCount();time_total = time_end - time_start;cout << "time_start:" << time_start/1000.0 << "s \n" << "time_end:" << time_end / 1000.0 << "s \n" << "time_total:" << time_total/1000.0 << "s \n" << endl;delete a;delete b;delete temp;
}9.汉诺塔
# include <stdio.h>
void hanoi ( int n, char a, char b, char c ) //这里代表将a柱子上的盘子借助b柱子移动到c柱子{ if (1 == n) //如果是一个盘子直接将a柱子上的盘子移动到c{printf("%c-->%c\n",a,c);}else{hanoi ( n-1, a, c, b ) ; //将a柱子上n-1个盘子借助c柱子，移动到b柱子printf("%c-->%c\n",a , c) ; //再直接将a柱子上的最后一个盘子移动到chanoi ( n-1, b, a, c ) ; //然后将b柱子上的n-1个盘子借助a移动到c}}
int main (){ int n ;printf( "Input the number of diskes:") ;scanf("%d",&n) ;hanoi ( n, 'A' , 'B' , 'C' ) ;}10棋盘覆盖
#include<time.h>
#include<iostream>
using namespace std;int board[100][100];
int t=0;
void Board(int tr,int tc,int dr,int dc,int s)
{if(s==1)return;int temp = ++t;s/=2;if(dr<tr+s && dc<tc+s)Board(tr,tc,dr,dc,s);else{board[tr+s-1][tc+s-1]=temp;Board(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);}if(dr<tr+s && dc>= tc+s)Board(tr,tc+s,dr,dc,s);else{board[tr+s-1][tc+s]=temp;Board(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);}if(dr>= tr+s && dc< tc+s)Board(tr,tc,dr,dc,s);else{board[tr+s][tc+s-1]=temp;Board(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);}if(dr>= tr+s && dc>= tc+s)Board(tr,tc,dr,dc,s);else{board[tr+s][tc+s]=temp;Board(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);}}
int main()
{Board(1,1,1,1,4);for(int i=1;i<=4;i++){for(int j=1;j<=4;j++){cout << board[i][j] << " ";}cout << endl;}
}第二章：回溯+DFS
1.走迷宫
int **map;// 地图数组
int **t; //解空间数组
int n,m,start_x,start_y,end_x,end_y;//n行
int dir[4][2]={{0,1},{-1,0},{0,-1},{1,0}};// 四个方向
int c;// 计算有几种结果 void dfs(int x,int y){//到终点 if(x==end_x&&y==end_y){cout<<"=================="<<endl;c++; // 计算有几种结果 for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<m;j++){cout<<t[i][j]<<" ";}cout<<endl;}return;}//没到终点 ,则搜索四个方向 for(int i=0;i<4;i++){//计算第i个方向的新坐标点 int newX=x+dir[i][0],newY=y+dir[i][1];//1超出坐标边界2非障碍物 3未走过的路径存在t数组 if(newX>=0&&newX<n&&newY>=0&&newY<m&&map[newX][newY]==0&&t[newX][newY]==0){//向i方向进一步 标为1 t[newX][newY]=1;// 新坐标点出发继续搜四个方向递归 dfs(newX,newY);//i方向完成后,新坐标点退回，路径改为0 t[newX][newY]=0;}}
} int main(){int i,j;cout<<"输入迷宫大小 "<<endl;cin>>n>>m;// 输入迷宫大小 //数组内存空间分配 map=new int *[n];t=new int *[n];for(i=0;i<n;i++){map[i]=new int [m];t[i]=new int [m];} //迷宫数据初始化 cout<<"输入迷宫具体数值 "<<endl;for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<m;j++){cin>>map[i][j];t[i][j]=0;}}cout<<"起点坐标和终点坐标"<<endl;cin>>start_x>>start_y>>end_x>>end_y;t[start_x][start_y]=1;dfs(start_x,start_y);/*测试代码
输入迷宫大小
5 5
输入迷宫具体数值
0 1 1 0 0
0 1 0 0 1
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
0 1 1 0 0
起点坐标和终点坐标
3 2 2 2
==================
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
0 0 1 1 0
0 0 1 1 0
0 0 0 0 0
==================
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
0 0 1 1 0
0 0 0 0 0
==================
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
==================
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 1 0 0
0 1 1 0 0
0 0 0 0 0
*/}2.全排列
#include<iostream>
using namespace std;//全排列
int n; //数值个数
int **num; //n行两列二维数组,第一列存数值，第二列存状态 0未选 1已选
int *res1; //存排列结果
int count1 = 0;
void dfs1(int i){//判断是否n个数全部放入，即i == nif(i == n){count1++;for(int j = 0; j < n; j++)cout << res1[j] << " ";cout << endl;return;}//如果未全部放入，则依次遍历n个数for(int j = 0; j < n; j++){//判断第j个数是否可选if(num[j][1] == 0){res1[i] = num[j][0]; //将第j个数放入结果数组res的第i个位子num[j][1] = 1; //将第j个数状态改为1，标记为已选，则不可被重复选中dfs1(i+1); //递归下一个位子num[j][1] = 0; //将第j个数状态改回0，可被下次选中}}
}3.油田问题
//油田问题
int rows,columns; //油田大小行列数
char **map; //油田原始地图
int count2 = 0; //计数器，计数有多少片油田
int dir[8][2] = {{0,1},{-1,1},{-1,0},{-1,-1},{0,-1},{1,-1},{1,0},{1,1}}; //右、右上、上、左上、左、左下、下、右下8个方向矢量值
void dfs2(int x, int y){map[x][y] = '*'; //将行列标(x,y)的值由'@'改为'*'，标记为已查找过的油田//以(x,y)搜索8个方向的相邻点for(int i = 0; i < 8; i++){int newX = x + dir[i][0], newY = y + dir[i][1]; //计算新坐标点的行列标//判断是否遍历到油田:1.未越界 2.为油田if(newX >= 0 && newX < rows && newY >= 0 && newY < columns && map[newX][newY] == '@')dfs2(newX,newY); //将新坐标点的值改为'*'，并继续向8个方向搜索}
}
4.N皇后
//N皇后问题
int n_queen; //皇后个数
int **board; //原始棋盘：0表示未落子 1皇后
int count3 = 0;bool check(int i, int j){int j_left = j, j_right = j;while(i > 0){i--;if(board[i][j] == 1) return false; //正上方if(j_left > 0){ //左上方j_left--;if(board[i][j_left] == 1) return false;}if(j_right < (n_queen-1)){ //右上方j_right++;if(board[i][j_right] == 1)return false;}}return true;
}void dfs3(int i){//判断N个皇后是否已全部放入，即i == nif(i == n_queen){count3++;cout << "------------我是分割线----------------" << endl;for(int x = 0; x < n_queen; x++){for(int y = 0; y < n_queen; y++){cout << board[x][y] << " ";}cout << endl;}return;}//否则所有皇后未被全部放入，则依次遍历n个点for(int j = 0; j < n_queen; j++){//判断当前第i个皇后是否能放入第j个点if(check(i,j)){board[i][j] = 1; //将第i个皇后（第i行）放入第j个位子dfs3(i+1); //查找选择下一个皇后i+1的位子board[i][j] = 0; //将第i个皇后撤出，供下一种情况可选择}}
}回溯测试main主函数
void main(){int i,j;cout << "全排列" << endl;cin >> n; //设置数值个数//根据数值个数分配内存空间num = new int*[n];res1 = new int[n];for(i = 0; i < n; i++)num[i] = new int[2];//初始化赋值for(i = 0; i < n; i++){cin >> num[i][0];num[i][1] = 0;res1[i] = 0;}dfs1(0);cout << "油田问题" << endl;cin >> rows >> columns; //设置油田大小//根据油田大小分配内存空间map = new char*[rows];for(i = 0; i < rows; i++)map[i] = new char[columns];//初始化赋值for(i = 0; i < rows; i++)for(j = 0; j < columns; j++)cin >> map[i][j];//遍历油田，每遇到一片新油田，计数器自增，且将新油田的值由'@'全部改为'*'for(i = 0; i < rows; i++)for(j = 0; j < columns; j++){if(map[i][j] == '@'){count2++;dfs2(i,j);}}cout << count2 << endl;cout << "N皇后问题" << endl;cin >> n_queen; //设置皇后个数，即棋盘大小//根据棋盘大小分配内存空间board = new int*[n_queen];for(i = 0; i < n_queen; i++)board[i] = new int[n_queen];//初始化赋值for(i = 0; i < n_queen; i++)for(j = 0; j < n_queen; j++)board[i][j] = 0;dfs3(0);cout << count3 << endl;
} 第三章贪心算法
1.0-1背包
#include<iostream>
using namespace std;struct Friut{
int id,w,v;
float pr,x;
};Friut f[5];void quickSort(Friut *f,int l,int r)
{int qSort(Friut *f,int l,int r);if(l<r){int mid=qSort(f,l,r);quickSort(f,l,mid-1);quickSort(f,mid+1,r);}
}int qSort(Friut *f,int l,int r)
{int i=l,j=r+1;
Friut x=f[l];
while(true)
{
while(f[++i].pr>x.pr&&i<=r);
while(f[--j].pr<x.pr);if(i>=j) break;
Friut t=f[i];
f[i]=f[j];
f[j]=t;
}f[l]=f[j];
f[j]=x;
return j;}void choose(float c){int i=0;while(f[i].w<=c&&i<=4){f[i].x=1;c=c-f[i].w;i--;}if(c>0) f[i].x=c/f[i].w;
}int main()
{for(int i=0;i<5;i++){f[i].id=i+1;cout<< " 输入吧";cin >>f[i].w>>f[i].v;f[i].pr=(float)f[i].v/f[i].w;}quickSort(f,0,4);choose(10);
for(int i=0;i<5;i++){cout<<f[i].id<< " "<<f[i].w<<" "<<f[i].v<<" "<<f[i].pr<<" "<<f[i].x<<" "<<endl;}
}第四章动态规划
1.单个矩阵连乘
2.矩阵连乘
一、
A{2*3} B{3*2}
A
1 2 3
4 5 6
B
- 4
- 5
- 6
- 1*1+2*2+3*3=14 ②1*4+2*5+3*6=32
③ 4*1+5*2+6*3=32 ④4*4+5*5+6*6=77
①A[1][1]*B[1][1]+A[1][2]*B[2][1]+A[1][3]*B[3][1]
②A[1][1]*B[1][2]+A[1][2]*B[2][2]+A[1][3]*B[3][2]
③A[2][1]*B[1][1]+A[2][2]*B[2][1]+A[2][3]*B[3][1]
④A[2][1]*B[1][2]+A[2][2]*B[2][2]+A[2][3]*B[3][2]
(AipBpj)ij =
二、结论：假设A矩阵是p*q矩阵，B矩阵是q*r矩阵,则结果C矩阵是q*r矩阵，循环p*q*r次，即乘法运算p*q*r次。
假设有A1,A2,A3三个矩阵，大小分别为A1{10*100},A2{100*5},A3{5*50}。
利用矩阵乘法结合律有两种相乘方式：
①(A1*A2)*A3=10*100*5+10*5*50=7500
②A1*(A2*A3)=100*5*50+10*100*50=75000
三、问题：不同的运算方式影响计算效率。在A1*A2*……*An矩阵相乘中找到最高效率的解。
A[1:n]的最优结果，假设到第k个矩阵为最优，则式子为A[1:k]*A[k+1:n]
计算次数=A[1:k]次数 + A[k+1:n]次数 + A[1:k]*A[k+1:n]次数
建立递推关系：
设计算A[i:j](1<=i<=j<=n)所需最少乘法次数为dp_m[i][j]，用P[i]表示第i个矩阵的列数。则原问题的最优解是dp_m[1][n]。
- 当i==j时，只有一个矩阵Ai，无须计算，dp_m[i][j] = 0(1<=i<=n)
- 当i<j时，dp_m[i][j] = min(dp_m[i][k] + dp_m[k+1][j] + P[i-1]*P[k]*P[j]) (1<=i<=k<j<=n)
四、综合可得递推式：
五、例：
A1{30*35} A2{35*15} A3{15*5} A4{5*10} A5{10*20} A6{20*25}
|
dp_m |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
dp_s |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
1 |
0 |
15750 |
7875 |
9375 |
11875 |
15125 |
1 |
0 |
1 |
1 |
3 |
3 |
3 |
|
|
2 |
0 |
2625 |
4375 |
7125 |
10500 |
2 |
0 |
2 |
3 |
3 |
3 |
|||
|
3 |
0 |
750 |
2500 |
5375 |
3 |
0 |
3 |
3 |
3 |
|||||
|
4 |
0 |
1000 |
3500 |
4 |
0 |
4 |
5 |
|||||||
|
5 |
0 |
5000 |
5 |
0 |
5 |
|||||||||
|
6 |
0 |
6 |
0 |
dp_m[1][2] = dp_m[1][1] + dp_m[2][2] + P[0]*P[1]*P[2] = 0+0+30*35*15=15750 k==1
dp_m[2][3] = dp_m[2][2] + dp_m[3][3] + P[1]*P[2]*P[3] = 0+0+35*15*5=2625 k==2
= 7125 k==3
最优解分析：(A1*(A2*A3))*((A4*A5)*A6)
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