排列组合n选m，组合算法——0-1转换算法（巧妙算法）C++实现

知识储备

1.排列

排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示

计算公式：

注意：m中取n个数，按照一定顺序排列出来，排列是有顺序的，就算已经出现过一次的几个数。只要顺序不同，就能得出一个排列的组合，例如1,2,3和1,3,2是两个组合。

2.组合

组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。

计算公式：

注意：m中取n个数，将他们组合在一起，并且顺序不用管，1,2,3和1,3,2其实是一个组合。只要组合里面数不同即可

组合算法

0-1转换组合算法摘自：http://blog.chinaunix.net/uid-20684578-id-1572099.html

本算法的思路是开两个数组，一个index[n]数组，其下标0~n-1表示1到n个数，1代表的数被选中，为0则没选中。value[n]数组表示组合的数值，作为输出之用。

首先初始化，将index数组前m个元素置1，表示第一个组合为前m个数,后面的置为0。
然后从左到右扫描数组元素值的“10”组合，找到第一个“10”组合后将其变为 “01”组合，同时将其左边的所有“1”全部移动到数组的最左端。一起得到下一个组合（是一起得出，是一起得出，是一起得出）
重复1、2步骤，当第一个“1”移动到数组的n-m的位置，即m个“1”全部移动到最右端时；即直到无法找到”10”组合,就得到了最后一个组合。

组合的个数为：

例如求5中选3的组合：

1 1 1 0 0 //1,2,3
1 1 0 1 0 //1,2,4
1 0 1 1 0 //1,3,4
0 1 1 1 0 //2,3,4
1 1 0 0 1 //1,2,5
1 0 1 0 1 //1,3,5
0 1 1 0 1 //2,3,5
1 0 0 1 1 //1,4,5
0 1 0 1 1 //2,4,5
0 0 1 1 1 //3,4,5

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
void Show(int ,int index[],int value[]);
bool judge(int,int ,int index[]);
void change(int ,int ,int index[],int value[]);
int main()
{
int i,n,m;
cout<<"请输入元素个数：";
cin>>n;
cout<<"请输入选多少元素:";
cin>>m;
int index[n]={0},value[n]; //index务必初始化为0，不然无法知道m个数之后里面是真还是假
for(i=0;i<n;i++)
{
value[i]=i+1;//此处是赋初值,以1,2,3,4,5为例，当然任何数字都可以
}
change(n,m,index,value);
return 0;
}

void Show(int n,int index[],int value[])
{
int i;
for(i=0;i<n;i++)
{
if(index[i]) cout<<value[i]<<" ";
}
cout<<endl;
}

bool judge(int n,int m,int index[])
{
int i;
for(i=n-1;i>=n-m;i--)
{
if(!index[i]) return false;
}
return true;
}

void change(int n,int m,int index[],int value[]) //核心算法函数
{
int i,j,num=0;
for(i=0;i<m;i++)
{
index[i]=1;
}
Show(n,index,value); //第一个组合
num +=1;
while(!judge(n,m,index)) //只要没使1全部移到右边，就继续循环
{
for(i=0;i<n-1;i++) //注意是n-1,因为i=n-1时，i+1是不存在的
{
//找到10，变成01
if(index[i]==1&&index[i+1]==0)
{
index[i]=0;
index[i+1]=1;
//将01组合左边的1全部放在数组最左边
int count=0;
for(j=0;j<i;j++)
{
if(index[j])
{
index[j]=0;
index[count++]=1;
}
}
Show(n,index,value); //输出
num +=1;
break;
}
}
}
cout<<"共有"<<num<<"种"<<endl;
}