华里士（Wallis）公式推导

这里给出手写版公式推导过程，后面有空再整理成电子版。

$\begin{align*} I_{n} &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{n}xdx\\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{n-1}x \sin xdx \\ &= - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{n-1}x d\cos x\\ &= (-\sin ^{n-1}x \cos x) |_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x d\sin^{n-1} x\\ &= 0 + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(n-1)\sin ^{n-2}x \cos^{2} xdx \\ &= 0 + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(n-1)\sin ^{n-2}x (1-\sin^{2} x)dx \\ &= (n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{n-2}x dx - (n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{n}x dx\\ &= (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_{n}\\ \\ \Rightarrow & I_{n} = (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_{n} \\ \Rightarrow & I_{n} = (\frac{n-1}{n})I_{n-2} \\ \because & I_{0} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{0}xdx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}1dx = \frac{\pi}{2}\\ & I_{1} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{1}xdx = 1\\ \therefore I_{n} &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{n}xdx= \left\{\begin{matrix} \frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} ...\frac{1}{2} I_{0}\\ \frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} ...\frac{2}{3} I_{1} \end{matrix}\right. \end{align*}$

$\begin{align*} I_{n} &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos ^{n}xdx\\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos ^{n-1}x \cos xdx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos ^{n-1}x d\sin x\\ &= (\cos ^{n-1}x \sin x) |_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin x d\cos^{n-1} x\\ &= 0 + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(n-1)\cos ^{n-2}x \sin^{2} xdx \\ &= 0 + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(n-1)\cos ^{n-2}x (1-\cos^{2} x)dx \\ &= (n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos ^{n-2}x dx - (n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos ^{n}x dx\\ &= (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_{n}\\ \\ \Rightarrow & I_{n} = (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_{n} \\ \Rightarrow & I_{n} = (\frac{n-1}{n})I_{n-2} \\ \because & I_{0} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos ^{0}xdx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}1dx = \frac{\pi}{2}\\ & I_{1} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos ^{1}xdx = 1\\ \therefore I_{n} &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos ^{n}xdx = \begin{cases} \frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} ...\frac{1}{2} I_{0} \\ \frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} ...\frac{2}{3} I_{1} \end{cases} \\ \end{align*}$

欧拉-泊松公式：

$\int_{-\infty }^{-\infty } e^{-x^{2}}dx=\sqrt{\pi} \ \ \ \ \ \ \int_{0 }^{-\infty } e^{-x^{2}}dx= \frac{ \sqrt{\pi}}{2}\\ \begin{align*} \because f(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi }\delta }e^{-\frac{(x-\mu )^{2}}{2\delta ^{2}}}dx, X\sim N(0,1)\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi } }e^{-\frac{x ^{2}}{2}}dx \end{align*}\\ \int_{-\infty }^{+\infty } f(x)dx= \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi } }e^{-\frac{x ^{2}}{2}}dx=1\\ \\ \begin{align*} \Rightarrow \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi } }e^{-\frac{x ^{2}}{2}}dx &= \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{\pi } }e^{-(\frac{x }{\sqrt{2}})^{2}}d\frac{x}{\sqrt{2}}\\ &=\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{\pi } }e^{-t^{2}}dt\\ &=1 \end{align*}\\ \Rightarrow \int_{-\infty }^{-\infty } e^{-x^{2}}dx=\sqrt{\pi}\\ \Rightarrow \int_{0 }^{-\infty } e^{-x^{2}}dx= \frac{ \sqrt{\pi}}{2}$

$\sum_{k=0}^{+\infty }\frac{x^k}{k!}=e^{x}\\ \\ \because X\sim P(\lambda)\Rightarrow P(X=k)=\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda }\\ \therefore \sum_{0}^{+\infty } P(X=k) = \sum_{0}^{+\infty } \frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda } = e^{-\lambda } \sum_{0}^{+\infty } \frac{\lambda ^{k}}{k!} = 1\\ \Rightarrow \sum_{0}^{+\infty } \frac{\lambda ^{k}}{k!} = e^{\lambda }\\ \Rightarrow \sum_{k=0}^{+\infty }\frac{x^k}{k!}=e^{x}\\$

华里士（Wallis）公式推导相关推荐

华里士公式的推导及其推广
华里士公式的推导及其推广基础知识华里士公式 In=∫0π2sin⁡nxdx=∫0π2cos⁡nxdx={n−1nn−3n−2⋯23nisodd,n−1nn−3n−2⋯12π2niseven\Lar ...
Wallis formula（华里士/沃利斯公式）
Author:AXYZdong 自动化专业工科男有一点思考,有一点想法,有一点理性! 定个小小目标,努力成为习惯!在最美的年华遇见更好的自己! CSDN@AXYZdong,CSDN首发,AXYZd ...
定积分华里士公式推广_数学分析第九章《定积分》备考指南
伟大的无产阶级革命导师马克思认为,理论研究是为了实践需要.数学理论的提出和发展,总是有实际问题作为原始的推动力.比如,物理上,变力做功问题如何解决?几何上,很多特殊的平面图像的都有相应的面积公式,大家 ...
华里士公式（点火公式）与区间再现公式
定积分华里士公式推广_分部积分法与点火公式｜第四十六回｜高数（微积分）...
原标题:分部积分法与点火公式|第四十六回|高数(微积分) 之前几次我们都在讲定积分计算的换元法,换元法对于定积分的计算确实很重要,也非常好用,因为定积分的结果是一个固定的数,所以相比于不定积分的换元法 ...
Wallis公式及其应用
今天我要讲的主要内容是什么是Wallis公式,以及它的推导过程.然后讲述Wallis公式的两个重要应用,即推导 Stirling公式和求解Euler-Poisson积分.一次在一个机器学习群里面看到讨 ...
Wallis公式Stirling公式Gamma函数
Wallis公式 (!!是双阶乘,不超过这个整数且具有相同奇偶的正整数相乘,比如5!!=1×3×5, 6!!=2×4×6) 利用Wallis公式推导Stirling公式斯特林公式是一条用来取n阶乘近 ...
arctanx麦克劳林公式推导过程_考研高数公式知识点整理
前言:本人考数二,故只整理了公共部分.数一.三单独考察部分未整理.除必会公式外,还收录了自己做题中较常见的部分公式. 会一直更新... 已更新内容: 极限相关导数相关积分相关三角函数相关不等式 ...
高等数学五-补充1-三角函数定积分
三角函数定积分三角函数n倍奇数积分周期函数公式华里士公式,或者华莱士(Wallis)公式性质拓展三角函数的正交性例题讲解例题1 例题2 例题3 例题4 三角函数n倍奇数积分

华里士（Wallis）公式推导

欧拉-泊松公式：

华里士（Wallis）公式推导相关推荐

最新文章

热门文章