一：问题引入
二：问题分析
- 问题一:影响资金积累、国民收入与人口增长的要素有哪些，如何确立三者之间的关系?
- 问题二:什么是资金积累的相对增长率，人口的相对增长率。两者之间有什么关系。
- 问题三:如何运用最优化模型将问题简单化?
- 问题四:分析所建立模型的优缺点,更好地研究和预测资金积累、国民收入与人口增长的关系，找出一种权衡三者关系的最优途陉
三：模型假设
四：符号说明
五：建立模型
六: 模型的评价、改进和推广

一：问题引入

【讨论资金积累，国民收入与人口增长的关系】
（1）：若国民平均收入x与人口平均资金积累y成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长。
（2）作出k(x)和r(x)的示意图，分析人口激增会导致什么后果。

二：问题分析

问题一:影响资金积累、国民收入与人口增长的要素有哪些，如何确立三者之间的关系?

反映人口增长和国民收入增长相互关系的最主要的综合指标是人均国民收入的增长速度。所以人口增长是影响这三者变动的主要因素。可把时间作为变量，找出随时间变化，国民收入

的变化情况。另一方面，资金积累等于国民收入减去国民消费，

国民消费情况未知，可设所取时间段内总资金积累量占总国民

收入的比例为定值。

问题二:什么是资金积累的相对增长率，人口的相对增长率。两者之间有什么关系。

资金积累的相对增长率=资金绝对增长率/当年的资金总积累量
人口的相对增长率=人口的绝对增长率/当年的人口总数
要找出两者之间的关系就要用到总资金积累量、总人口

数量和其相对增长率。这些变量可通过查阅资料得出。针对这

些大量的数据，如何建立适当模型求解。要求增长率，我们可

以考虑到运用微分方程的方法，建立微分方程模型。

问题三:如何运用最优化模型将问题简单化?

最优化模型就是从所有可能的模型中找到最简单的从而将问题

简单化，基于本题，影响国民收入、资金积累和人口增长的因素有

很多，这其中许多因素是不可预知的，为了优化模型，我们可以假

设增长率k和r以及总资金积累量、总国民收入和总人口数量之间

的关系不受其他因素干扰。

问题四:分析所建立模型的优缺点,更好地研究和预测资金积累、国民收入与人口增长的关系，找出一种权衡三者关系的最优途陉

由于题目所给出的信息和数据比较片面和单一,要反映三者实际的关下一篇系,模型有很大局限性.为此,需要搜集相关信息，来更全面地对资金积累、国民收入与人口增长三者的关系进行评估.我们采用综合评价,结合实验得出是图形，与实际情况相联系，找出一种权衡三者关系的最优途径具有相当高的实用性.

三：模型假设

1国民平均收入与人口平均资金积累成正比，所以设a为总资金积累量占总国民收入的比例，且在所取时间段内a为定值，增长率k和r;

2增长率k和r以及总资金积累量、总国民收入和总人口数量之间的关系不受其他因素干扰;

3结合实际情况，我们只选取最近的具有代表性的某- -个时间段内的数据进行分析，并把它作为最终的结果;

四：符号说明

x1(t)一总资金积累量

x2(t) -总人口数量

x3(t)一总国民收入.

t一所选取的时间

a一总资金积累量占总国民收入的比例x一国民平均收入

x一国民平均收入

y-一人口平均积累

k一总资金积累的相对增长率

r人口的相对增长率

五：建立模型

不考虑其他外界因素
dx1(t)/d(t)=kx1(t)
dx2(t)/d(t)=rx2(t)
dx1(t)/d(t)=a*(k-r)*x3(t)
针对一组具体的数据用MATLAB软件进行计算，首先根据以上微分方程组建立以下：
数据：

clear
t=1:15;
s=2006:2020;
x=[211808 259259 316229 343465 415643 483277 537785 595244 643974 689052 743585 827122 914543 989720 1015986];
y=[131448 132129 132802 133450 134091 134735 135428 136072 136782 137462 138271 139008 139538 140005 141241];
z=[67987 79866 93091 103954 113388 126951 140709 153657 163438 172759 180512 189891 200776 224190 244875];
for i=1:15lnx(i)=log(x(i));lny(i)=log(y(i));lnz(i)=log(z(i));end
p=polyfit(t,lnx,1);
q=polyfit(t,lny,1);
m=polyfit(t,lnz,1);
x0=exp(p(2));
y0=exp(q(2));
z0=exp(m(2));
k=p(1)
r=q(1)
c=m(1)
for j=1:15
xx(j)=x0* exp(k*j);
yy(j)=y0* exp(r*j);
zz(j)=z0* exp(c*j);
endfigure(1), plot(t,x,'B*' ,t,xx,'B')
hold on
xlabel('时间[年]'),ylabel('总资金积累[亿元]')figure(2),plot(t,y,'r+',t,yy,'r')
hold on
xlabel('时间[年]'),ylabel('人口数[万人]')figure(3),plot(t,z,'Gs',t,zz,'G')
hold on
xlabel('时间[年] '),ylabel('国民收入[亿元] ')

资金积累与时间关系图：

人口与时间关系图：

国名收入与时间关系图：

matlab得到的数据：

由上可知:从2006年到2020年国民平均收入量满足指数增长，其增长率为(k-r )，即仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的;人口增长也是满足短期的指数增长，dx2/dt=0.0067x2

0.0067t

,x2,4.4739*10^4e

,经最小二乘法的拟合，资金积累也满足假设条件的指数函数，dx1/dt=0.1278x1

0.1278t(资金积累与时间关系图) ,x2,1.2127*10^5e

国民平均收入经计算与已知条件(国民平均收入与资金积累成正比)吻合，a近似等于1，dx3/dt=px3,p=a(k-r)=0.1211

0.1211t(国民收入与时间关系图) ,x3,2.2058*10^4e

4.模型改进

根据常识我们可知，人口是不可能一直呈指数增长到无穷为止，在环境与各种竞争存在的条件下，会达到一个最大容量N，，我们假设最大人口数量为20亿。人口模型为dx2/dt=rx2(1-x2/N),

Matlab编程如下:

ym=200000;r=0.0067; for j=0:1:1000;

figure(1), plot(j,ym/(1+(ym/121270-1)exp(-rj)),‘r+’)

hold on

end

xlabel(‘时间【年】’),ylabel(‘人口数【万人】’)

for y=0:0.001:1

dydt=ry(1-y/1); figure(2),plot(y,dydt,‘r*’)

hold on

end

title(‘dx/dt-t曲线’);

经计算机运算得出以下图形:

六: 模型的评价、改进和推广

模型的优点

(1) 用Matlab和Excel工具对问题中数据的进行处理，得到了较为精确的像

(2)用数据拟合的方法可以更精确的反映出对象的整体变化趋势，使人一目了然。

(3)建立的模型与实际问题联系紧密，结合实际情况对所提出的问题进行求解，使模型更贴近实际，通用性强。

模型的缺点
(1)由于人口增长率涉及到出生率和死亡率，所以无法很准确的统计到每年人口的实际数据，只能建立一个估计的模型。

(2)由于每年资金积累率曲线波动很大，所以很难建立准确的拟合曲线来反映资金积累率的变动趋势。

(3) 为了优化放案使问题更简单，我们忽略了很多相关点，并且只考虑了十几年的数据，因此模型并非能够精确地反映出三者之间的准确关系，如果能够进一步改进的话，可以将外界因素考虑在内(例如国民消费，经济发展模式不同等)

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