MT【309】正弦的平方差公式

在锐角$\Delta ABC$中,角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$,且满足$b^2-a^2=ac$,则$\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1}{\tan B}$ 的取值范围是_____

证明:由正弦定理$\sin^2B-\sin^2A=\sin A\cdot\sin C$,即$\sin(B+A)\cdot\sin(B-A)=\sin A\cdot\sin C$,
从而$\sin(B-A)=\sin A,B=2A$,由锐角三角形条件得$\dfrac{\pi}{3}<B<\dfrac{\pi}{2}$
故$\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1}{\tan B}=\dfrac{\sin B\cos A-\cos B\sin A}{\sin A\sin B}=\dfrac{\sin(B-A)}{\sin A\sin B}=\dfrac{1}{\sin B}\in\left(1,\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)$

练习:在$\Delta ABC$中,$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$,且$3a^2=c^2-b^2$,则$\tan A\tan B$ 的取值范围____
答案:$(0,\dfrac{1}{2})$,提示由条件得$\tan C=-2\tan B$

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