三角函数到傅立叶级数

我讨厌傅立叶级数的叫法，这老让我感觉到很深奥，但当我用三角级数时，感觉就大不同了！！

下面进入正题

正弦波

信号处理中极为极为极为重要的一个函数,三角函数,之所以叫做三角函数,是因为它的计算方式和直角三角密切相关，三角函数又常常叫正弦函数，实际在使用中,不管是sin还是cos都常常被统称为正弦函数。（假设θ为自变量，θ称为相位或相角，单位rad）

当我们引入动态的概念后（角频率，角速度,相位 θ=ωt+ψ）,正弦函数随之而动,从一个定值变成了一个波,在信号处理中,我们称之为正弦波（同上不管是sin还是cos都称正弦波）正弦波具有三个要素，角频率，初相位和波幅（振幅），通用的公式来描述正弦波。

Sean:“波”就是一个动态的概念，三要素能唯一表征出一个正弦波，生活中最常见的交流电就是正弦波

三角函数的正交性

不同频率的正弦波相乘,对其周期积分后,其结果是0!

为什么呢

因为不同频率的正弦波相乘（不管是sin还是cos）通过积化和差总是可化为两个正弦波之和或差，而我们知道们,对正弦波正无穷到负无穷内进行积分,其结果必定是0(主值积分，取周期)，当同频时则结果等于它的周期的一半。

信号处理的公式中比如傅里叶变换,默认都以柯西主值积分作为钦定的积分方式

傅里叶变换中使用的是柯西主值积分,整个无穷区间取周期倍)，的结果必然为0。

傅立叶级数（实质就是三角级数）

“任何”周期信号都可以用一系列成谐波关系的正弦曲线来表示。（所有的目标，谐波表示法）

直观地可以用下面这个式子来表示

利用三角函数的变换公式，上式可变形为

现在，让我们正式的引入正交性的性质，还记得检波手段么，这里，我们假设对 f(t)用sin(κωt)进行检波(说人话就是乘起来,然后为了方便计算对其在一个周期内积分)，那么就有。

不要问为什么要加上积分，当然是为了利用三角积分的性质啦

附 :（0，T）代入可得T/2

非无穷函数展开为三解级数

上面的结论都是针对“波”即随时间变化的无限的函数(定义域为负无究到正无究的函数)通常它含有ωt,角频率的自变量t形式。此时只有周期函数才能展开为傅立叶级数。在信号在信号处理领域我们称傅立叶级数只针对周期函数。

特别注意实际上如脉冲函数，一个方波等的函数，定义域也是无究的，只是值域可能为零。但它们是非周期函数，所以不能直接展开为三角级数。这也正是提出傅立叶变换的原因

跳出信号处理的领域回归更一般的场合--定义域非无究的情况，傅立叶级数的定义为

(系数的计算和上面方法是类似的)

而且f(x)可以是分段连续的，此时关于其断点的傅立叶级数收敛性有：

“波”的傅立叶级数实质就是区间傅立叶级数的周期拓展的结果。

傅立叶级数的周期延拓

奇函数的偶函数关于对称区间的积分

余项级数（余弦项的级数）

因此如果对区间为(0,L) （这里的L来源于绝缘棒的长度）的函数进行偶延拓，则三角级数所有的正弦项系数（奇函数积分）将全为0，因此只有余项级数

如果进行奇延拓，则三角级数只有正弦级数

吉伯斯现象

对于存在断点的函数的三角级数，在断点处的傅立叶级数的展开式总会有一个上冲。（对连续的部分当然是是随着三角级数项增加而无限接近，但断点处却不能，而总会有一个上冲，而且恒接近于1.09）

狄利克雷充分条析

傅里叶在提出傅里叶级数时坚持认为，任何一个周期信号都可以展开成傅里叶级数，但狄利克雷认为，只有在满足一定条件时，周期信号才能展开成傅里叶级数。这个条件被称为狄利克雷条件。

（1 ）在一周期内，连续或只有有限个第一类间断点；

（2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；

（3）在一周期内，信号是绝对可积的

一般我们遇到的周期信号都能满足狄利克雷条件。

狄利克雷条件是一个信号存在傅里叶变换的充分不必要条件。--人话讲就是满足的一定可展开为三角级数，不满足就不一定。

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