函数连续，区间连续，一致连续，绝对连续，Lipschitz连续

2024-06-27 01:08:03

1.函数连续

定义：设函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x0x_0x0的某一个领域内有定义，如果
lim⁡Δx→0Δy=lim⁡Δx→0[f(x0+Δx)−f(x0)]=0,\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta y = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left[ f\left(x_0+\Delta x\right) -f\left(x_0\right) \right] = 0, Δx→0limΔy=Δx→0lim[f(x0+Δx)−f(x0)]=0,
那么就称函数y=f(x)y=f\left( x \right)y=f(x)在点x0x_0x0连续。

2.区间连续

定义：如果在区间上每一点都连续，就称函数在该区间上连续，如果区间包括端点，那么在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续。

3.一致连续

定义：设函数f(x)f\left(x \right)f(x)在区间III上有定义，如果对于任意给定的正数ε\varepsilonε，总存在正数δ\deltaδ，使得对于区间III上的任意两点x1x_1x1，x2x_2x2 ，当∣x1−x2∣<δ\left|x_1-x_2\right| < \delta∣x1−x2∣<δ时，有
∣f(x1)−f(x2)∣<ε\left|f(x_1)- f(x_2)\right|<\varepsilon∣f(x1)−f(x2)∣<ε那么称函数f(x)f(x)f(x)在区间III上一直连续。

4.绝对连续

设f(x)f(x)f(x)是[a,b][a,b][a,b]上的函数，若对任意ε>0\varepsilon>0ε>0，存在δ>0\delta>0δ>0使得对于[a,b][a,b][a,b]中的任意一组分点：a1<b1≤a2<b2≤…≤an<bn,a_{1}<b_{1} \leq a_{2}<b_{2} \leq \ldots \leq a_{n}<b_{n}, a1<b1≤a2<b2≤…≤an<bn,只要∑i=1n(bi−ai)<δ\sum_{i=1}^{n}(b_i-a_i)<\delta∑i=1n(bi−ai)<δ，便有∑i=1n∣f(bi)−f(ai)∣<ε，\sum_{i=1}^{n} \mid f\left(b_{i}\right)-f\left(a_{i}\right)|<\varepsilon， i=1∑n∣f(bi)−f(ai)∣<ε，则称f(x)f(x)f(x)是[a,b][a,b][a,b]上的绝对连续函数，或称f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上绝对连续。

5.Lipschitz连续

对于函数f(x)f(x)f(x)，如果存在一个常量KKK，使得对f(x)f(x)f(x)定义域上（可为实数也可以为复数）的任意两个值满足如下条件：
∣f(x1)−f(x2)∣≤K∗∣x1−x2∣\left|f(x_1)-f(x_2)\right| \leq K*\left|x_1-x_2\right|∣f(x1)−f(x2)∣≤K∗∣x1−x2∣那么称函数f(x)f(x)f(x)满足Lipschitz连续条件，并称KKK为f(x)f(x)f(x)的Lipschitz常数。

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.1. 2.
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