（六）可压缩气体的一元流动

基本概念

可压缩气体一元流动的基本方程式

气体在变截面管中的流动

基本概念

声速：气体动力学中，声速泛指微小扰动波在流体介质中的传播速度，而不仅仅是指声音的传播速度。比如，弹拨琴弦，振动了空气，空气的压强、密度等参数发生了微弱的变化，这种状态变化在空气中形成了一种不平衡的扰动，扰动又以波的形式迅速的外传，其传播速度就是声速。

声速特征

声速的大小与扰动过程中压力的变化量同密度的变化量的比值有关，流体越容易压缩则声速就越小。
气体中的声速与等熵指数k和气体常数R有关。不同的气体有各自的声速。液体中的声速与体积弹性模量K有关，不同的液体有各自的声速。
气体的声速随着气体的状态参数的变化而变化。同一流场中，如果各点的状态参数不同，则各点的声速也不同，所以声速指的是流场中某一点在某一瞬时的声速，称为当地声速。
在同种介质中声速只是当地绝对温度的函数。不同地点不同位置气体的温度不同，声速也就不同。

对于完全气体，声速： $c=\sqrt{\frac{dp}{d\rho }}=\sqrt{\frac{\gamma p}{\rho }}=\sqrt{\gamma RT}$

式中 $\gamma$ 为等熵指数， $\gamma =c_{p}/c_{v}$

马赫数

气体的运动速度和介质中声速之比，称为马赫数，用Ma表示

$Ma=\frac{v}{c}=\frac{v}{\sqrt{\gamma RT}}$

马赫数是一个无量纲的数，也是气体动力学中的一个重要参数，常作为判断气体压缩性对流动影响的一个标准。在流速一定的情况下，当地声速越小，气体压缩性就越大。当较小时，气体的压缩性不可忽略不计。

根据马赫数对气流分类

若Ma<1,称为压声速流动，此时气流速度小于声速的流动；

若Ma≈1，称为跨音速，气流速度近似等于声速的大小；

若1<Ma<3，称为超声速流动；

若Ma>3，称为高超声速流动。

冲击波

冲击波简称为激波。激波是当超声速气流流过障碍物的时候，在其前方气流受急剧压缩，压力，密度等突然明显增加，这个变化形成一个扰动波，并以极高的速度传播开来，波面所到之处气体的参数将急剧变化，这种极强的压力扰动波就称为冲击波。

可压缩气体一元流动的基本方程式

连续性方程的微分表达式

$\frac{d\rho }{\rho }+\frac{dv}{v}+\frac{dA}{A}=0$

等熵流动的能量方程

$\frac{\gamma }{\gamma -1}\frac{p}{\rho }+\frac{v^{2}}{2}=c$

$h+\frac{v^{2}}{2}=c$

其中 $\gamma=c_{p}/c_{v}$ ,称为比热容比，h为热力学中的焓。

气流参数

滞止状态和滞止参数

假定在一元等熵流动中，气体在某一断面处的流速等熵的降低到零时的状态称为滞止状态。

滞止状态时气体的内能和压力能的总和（焓）升到最大值，即总焓 $h_{0}=h+\frac{v^{2}}{2}=c$

最大速度状态

流动出现另一种极限情况，即气体的能量全部转换为动能，这时的压力为零，速度达到最大值，称为最大速度。最大速度计算公式： $v_{max}=\sqrt{\frac{2r}{r-1}\frac{p_{0}}{\rho }}=\sqrt{\frac{2\gamma RT_{0}}{\gamma -1}}=c_{0}\sqrt{\frac{2}{\gamma -1}}$

或 $v_{max}=\sqrt{\frac{2\gamma RT_{0}}{\gamma -1}}=\sqrt{2h_{0}}$

临界状态或者临界参数

气体从一滞止状态 $v_{0}=0$ 开始，经过一管道逐渐加速流动，最后达到 $v_{max}$ ，当地声速必然从最大值连续的变化到零的状态。可以看出在两种极限情况的中间必然有一流速恰好等于当地声速的截面，这时候的速度叫做临界速度。相应的参数叫做临界参数，分别为 $p_{cr},\rho _{cr},T_{cr},c_{cr}$

气体在变截面管中的流动

气流速度与密度的关系

$\frac{d\rho }{\rho }+Ma^{2}\frac{dv}{v}=0$

不论Ma>1或者Ma<1,只要dv>0,则dp<0, $d\rho$ <0;反之，dv<0,则dp>0, $d\rho$ >0。说明加速气流，必然引起压力的降低和气体的膨胀，而减速气流，使得压力增加和气体压缩，即气体流动伴随这密度的变化。压声速气流和超声速气流都具有上述性质。

当Ma<1时，密度相对变化量是小于速度的相对变化量，Ma>1时，密度的相对变化量大于速度的相对变化量。

气体速度与管道截面之间的关系

流速与管道截面之间的关系

截面积与压力的关系

在汽轮机、几何喷管、燃气轮机中利用管道截面变化来加速气流比较常见。

要使得气流加速，当流速尚未达到当地的声速的时候，喷管截面应该逐渐收缩。

要使得气流从压声速变化到超声速，必须将喷管做成先逐渐收缩后逐渐扩大的形状，这种喷管称为缩放喷管，又叫做拉法尔喷管。