1. 二阶齐次线性常微分方程的常点与奇点

二阶齐次线性常微分方程的标准形式为： { d 2 w d z 2 + p ( z ) d w d z + q ( z ) w ( z ) = 0 ( z ∈ D ⊂ C ) w ( z 0 ) = c 0 w ′ ( z 0 ) = c 1 ( 1 ) \begin{cases} \frac{d^2w}{dz^2}+p(z)\frac{dw}{dz}+q(z)w(z)=0\qquad(z\in\bold{D}\subset\mathbb{C}) \\\ \\ w(z_0)=c_0\quad w'(z_0)=c_1\end{cases}\qquad(1) ⎩ ⎨ ⎧dz2d2w+p(z)dzdw+q(z)w(z)=0(z∈D⊂C) w(z0)=c0w′(z0)=c1(1)其中复变函数 p ( z ) p(z) p(z)、 q ( z ) q(z) q(z)（在若干孤立奇点之外的区域上单值解析）为已知函数，被称作方程的系数。复变函数 w ( z ) w(z) w(z)为待求解的未知函数。通过之后的讨论可知：二阶齐次线性常微分方程解的解析性由其系数的解析性决定。函数 w ( z ) w(z) w(z)定义域 D \bold D D内的点可分为：

若方程的系数 p ( z ) p(z) p(z)、 q ( z ) q(z) q(z) 在点 z ∗ ∈ D z^*\in\bold{D} z∗∈D 处均解析，则称 z ∗ z^* z∗ 为方程的常点；
若方程的系数 p ( z ) p(z) p(z)、 q ( z ) q(z) q(z) 之一在点 z ∗ ∈ D z^*\in\bold{D} z∗∈D 处不解析，则称 z ∗ z^* z∗ 为方程的奇点。

Remark：初值点 z 0 z_0 z0 必定为方程的常点。

2. 二阶齐次线性常微分方程在常点邻域内的解

定理若方程的系数 p ( z ) p(z) p(z)、 q ( z ) q(z) q(z) 在圆域 ⊙ z ∗ ∼ R : ∣ z − z ∗ ∣ < R （ R > 0 ） \odot_{z^*\sim R}:|z-z^*|<R（R>0） ⊙z∗∼R:∣z−z∗∣<R（R>0）内单值解析，则方程 w ′ ′ + p w ′ + q w = 0 w''+pw'+qw=0 w′′+pw′+qw=0 在圆域 ⊙ z ∗ ∼ R \odot_{z^*\sim R} ⊙z∗∼R内存在唯一满足初值条件 w ( z ∗ ) = c 0 w ′ ( z ∗ ) = c 1 w(z^*)=c_0\quad w'(z^*)=c_1 w(z∗)=c0w′(z∗)=c1的解 w ( z ) w(z) w(z)，且 w ( z ) w(z) w(z)在圆域 ⊙ z ∗ ∼ R \odot_{z^*\sim R} ⊙z∗∼R上是单值解析的。

证明： 令 h ( z ) = w ′ ( z ) h(z)=w'(z) h(z)=w′(z)，则原二阶齐次线性常微分方程与下列常微分方程组等价： { w ′ = h , w ( z ∗ ) = c 0 h ′ = − p h − q w , h ( z ∗ ) = c 1 ( 2 − 1 ) \begin{cases}w'=h&,w(z^*)=c_0\\\\h'=-ph-qw&,h(z^*)=c_1\end{cases}\qquad(2-1) ⎩ ⎨ ⎧w′=hh′=−ph−qw,w(z∗)=c0,h(z∗)=c1(2−1)为便于讨论，考虑如下对称形式的常微分方程组： { u ′ ( z ) = a ( z ) u ( z ) + b ( z ) v ( z ) , u ( z ∗ ) = α v ′ ( z ) = c ( z ) u ( z ) + d ( z ) v ( z ) , v ( z ∗ ) = β ( 2 − 2 ) \begin{cases}u'(z)=a(z)u(z)+b(z)v(z)&,u(z^*)=\alpha\\\\v'(z)=c(z)u(z)+d(z)v(z)&,v(z^*)=\beta\end{cases}\qquad(2-2) ⎩ ⎨ ⎧u′(z)=a(z)u(z)+b(z)v(z)v′(z)=c(z)u(z)+d(z)v(z),u(z∗)=α,v(z∗)=β(2−2)其中，方程的系数 a ( z ) a(z) a(z)、 b ( z ) b(z) b(z)、 c ( z ) c(z) c(z)、 d ( z ) d(z) d(z)为圆域 ⊙ z ∗ ∼ R : ∣ z − z ∗ ∣ < R ( R > 0 ) \odot_{z^*\sim R}:|z-z^*|<R(R>0) ⊙z∗∼R:∣z−z∗∣<R(R>0)上的单值解析函数， α \alpha α、 β \beta β为常数。方程组（2-1）显然为方程组（2-2）的特例。采用逐步求近法求解方程组（2-2）。若 u ( z ) u(z) u(z)、 v ( z ) v(z) v(z)是圆域 ⊙ z ∗ ∼ R \odot_{z^*\sim R} ⊙z∗∼R上的单值解析函数，那么有： { u ( z ) = α + ∫ L ( a u + b v ) d z = α + ∫ z ∗ z [ a ( ζ ) u ( ζ ) + b ( ζ ) v ( ζ ) ] d ζ v ( z ) = β + ∫ L ( c u + d v ) d z = β + ∫ z ∗ z [ c ( ζ ) u ( ζ ) + d ( ζ ) v ( ζ ) ] d ζ \begin{cases} u(z)=\alpha+\int_{L} {(au+bv)dz}=\alpha+\int_{z^*}^{z} {[a(\zeta)u(\zeta)+b(\zeta)v(\zeta)]d\zeta}\\\\ v(z)=\beta+\int_{L} {(cu+dv)dz}=\beta+\int_{z^*}^{z} {[c(\zeta)u(\zeta)+d(\zeta)v(\zeta)]d\zeta} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧u(z)=α+∫L(au+bv)dz=α+∫z∗z[a(ζ)u(ζ)+b(ζ)v(ζ)]dζv(z)=β+∫L(cu+dv)dz=β+∫z∗z[c(ζ)u(ζ)+d(ζ)v(ζ)]dζ其中， L L L为圆域内任意由 z ∗ z^* z∗到 z z z的路径。利用上式构造如下函数序列： { u 0 ( z ) = α ， v 0 ( z ) = β u 1 ( z ) = α + ∫ z ∗ z [ a ( ζ ) u 0 ( ζ ) + b ( ζ ) v 0 ( ζ ) ] d ζ ， v 1 ( z ) = β + ∫ z ∗ z [ c ( ζ ) u 0 ( ζ ) + d ( ζ ) v 0 ( ζ ) ] d ζ … u n ( z ) = α + ∫ z ∗ z [ a ( ζ ) u n − 1 ( ζ ) + b ( ζ ) v n − 1 ( ζ ) ] d ζ ， v n ( z ) = β + ∫ z ∗ z [ c ( ζ ) u n − 1 ( ζ ) + d ( ζ ) v n − 1 ( ζ ) ] d ζ \begin{cases} u_0(z)=\alpha，v_0(z)=\beta \\\\ u_1(z)=\alpha+\int_{z^*}^{z} {[a(\zeta)u_0(\zeta)+b(\zeta)v_0(\zeta)]d\zeta}， v_1(z)=\beta+\int_{z^*}^{z} {[c(\zeta)u_0(\zeta)+d(\zeta)v_0(\zeta)]d\zeta}\\\\\qquad\dots\\\\ u_n(z)=\alpha+\int_{z^*}^{z} {[a(\zeta)u_{n-1}(\zeta)+b(\zeta)v_{n-1}(\zeta)]d\zeta}， v_n(z)=\beta+\int_{z^*}^{z} {[c(\zeta)u_{n-1}(\zeta)+d(\zeta)v_{n-1}(\zeta)]d\zeta} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧u0(z)=α，v0(z)=βu1(z)=α+∫z∗z[a(ζ)u0(ζ)+b(ζ)v0(ζ)]dζ，v1(z)=β+∫z∗z[c(ζ)u0(ζ)+d(ζ)v0(ζ)]dζ…un(z)=α+∫z∗z[a(ζ)un−1(ζ)+b(ζ)vn−1(ζ)]dζ，vn(z)=β+∫z∗z[c(ζ)un−1(ζ)+d(ζ)vn−1(ζ)]dζ由被积函数的解析性知：函数序列 { u 0 ( z ) , v 0 ( z ) ; u 1 ( z ) , v 1 ( z ) ; … ; u n ( z ) , v n ( z ) } \{u_0(z),v_0(z);u_1(z),v_1(z);\dots;u_n(z),v_n(z)\} {u0(z),v0(z);u1(z),v1(z);…;un(z),vn(z)}为解析函数。由于积分与积分路径无关，不妨选取积分路径为 z ∗ z^* z∗到 z z z的直线： z ^ ( t ) = z ∗ + ( z − z ∗ ) t = z ∗ + ( t ∣ z − z ∗ ∣ ) e i a r g ( z − z ∗ ) = z ∗ + ρ e i θ = z ^ ( ρ ) ， t ∈ [ 0 , 1 ] ， ρ ∈ [ 0 , ∣ z − z ∗ ∣ ] \hat{z}(t)=z^*+(z-z^*)t=z^*+(t|z-z^*|)e^{i\ arg(z-z^*)}=z^*+\rho e^{i\theta}=\hat{z}(\rho)，t\in[0,1]，\rho\in[0,|z-z^*|] z^(t)=z∗+(z−z∗)t=z∗+(t∣z−z∗∣)ei arg(z−z∗)=z∗+ρeiθ=z^(ρ)，t∈[0,1]，ρ∈[0,∣z−z∗∣]故， u 1 ( z ) − α = ∫ 0 ∣ z − z ∗ ∣ [ a ( z ^ ( ρ ) ) u 0 ( z ^ ( ρ ) ) + b ( z ^ ( ρ ) ) v 0 ( z ^ ( ρ ) ] e i θ d ρ v 1 ( z ) − β = ∫ 0 ∣ z − z ∗ ∣ [ c ( z ^ ( ρ ) ) u 0 ( z ^ ( ρ ) ) + d ( z ^ ( ρ ) ) v 0 ( z ^ ( ρ ) ] e i θ d ρ u_1(z)-\alpha=\int_{0}^{|z-z^*|} {[a(\hat{z}(\rho))u_0(\hat{z}(\rho))+b(\hat{z}(\rho))v_0(\hat{z}(\rho)]e^{i\theta}d\rho}\\\ \\ v_1(z)-\beta=\int_{0}^{|z-z^*|} {[c(\hat{z}(\rho))u_0(\hat{z}(\rho))+d(\hat{z}(\rho))v_0(\hat{z}(\rho)]e^{i\theta}d\rho} u1(z)−α=∫0∣z−z∗∣[a(z^(ρ))u0(z^(ρ))+b(z^(ρ))v0(z^(ρ)]eiθdρ v1(z)−β=∫0∣z−z∗∣[c(z^(ρ))u0(z^(ρ))+d(z^(ρ))v0(z^(ρ)]eiθdρ由于区域 ⊙ z ∗ ∼ R \odot_{z^*\sim R} ⊙z∗∼R内 a 、 b 、 c 、 d a、b、c、d a、b、c、d为解析函数，则： ∃ M > 0 , s . t . ∣ a ( ρ ) ∣ ≤ M ， ∣ b ( ρ ) ∣ ≤ M ， ∣ c ( ρ ) ∣ ≤ M ， ∣ d ( ρ ) ∣ ≤ M \exists M>0 ,s.t.\ |a(\rho)|\le M，|b(\rho)|\le M，|c(\rho)|\le M，|d(\rho)|\le M ∃M>0,s.t. ∣a(ρ)∣≤M，∣b(ρ)∣≤M，∣c(ρ)∣≤M，∣d(ρ)∣≤M那么， ∣ u 1 ( z ) − α ∣ ≤ ∣ ∫ 0 ∣ z − z ∗ ∣ 2 m M e i θ d ρ ∣ ≤ ∫ 0 ∣ z − z ∗ ∣ 2 m M d ρ < ∫ 0 ∣ z ^ − z ∗ ∣ 2 m M d ρ = ∫ 0 ρ 2 m M d ρ = 2 m M ρ ∣ v 1 ( z ) − β ∣ < 2 m M ρ \begin{aligned} &\quad\ |u_1(z)-\alpha|\\\\\ &\le\left|\int_{0}^{|z-z^*|} {2mMe^{i\theta}d\rho}\right|\\\\\ &\le\int_{0}^{|z-z^*|} {2mMd\rho}\\\\\ &<\int_{0}^{|\hat{z}-z^*|} {2mMd\rho}\\\\\ &=\int_{0}^{\rho} {2mMd\rho}\\\\\ &=2mM\rho\\\ \\ &\quad\ |v_1(z)-\beta|<2mM\rho \end{aligned} ∣u1(z)−α∣≤∣ ∣∫0∣z−z∗∣2mMeiθdρ∣ ∣≤∫0∣z−z∗∣2mMdρ<∫0∣z^−z∗∣2mMdρ=∫0ρ2mMdρ=2mMρ ∣v1(z)−β∣<2mMρ其中， m = m a x { ∣ α ∣ ， ∣ β ∣ } m=max\{|\alpha|，|\beta|\} m=max{∣α∣，∣β∣}进一步有： ∣ u 2 ( z ) − u 1 ( z ) ∣ = ∣ ∫ 0 ∣ z − z ∗ ∣ [ a ( u 1 − u 0 ) + b ( v 1 − v 0 ) ] e i θ d ρ ∣ ≤ ∫ 0 ∣ z − z ∗ ∣ ∣ [ a ( u 1 − u 0 ) + b ( v 1 − v 0 ) ] ∣ d ρ ≤ ∫ 0 ∣ z − z ∗ ∣ ∣ a ∣ ∣ ( u 1 − u 0 ) ∣ + ∣ b ∣ ∣ ( v 1 − v 0 ) ∣ d ρ < ∫ 0 ∣ z − z ∗ ∣ 2 2 m M 2 ρ d ρ < ∫ 0 ∣ z ^ − z ∗ ∣ 2 2 m M 2 ρ d ρ = ∫ 0 ρ 2 2 m M 2 ρ d ρ = m ( 2 M ρ ) 2 2 ! ∣ v 2 ( z ) − v 1 ( z ) ∣ < m ( 2 M ρ ) 2 2 ! \begin{aligned} &\quad\ |u_2(z)-u_1(z)|\\\\\ &=\left|\int_{0}^{|z-z^*|}{[a(u_1-u_0)+b(v_1-v_0)]e^{i\theta}d\rho}\right|\\\\\ &\le\int_{0}^{|z-z^*|}{\left|[a(u_1-u_0)+b(v_1-v_0)]\right|d\rho}\\\\\ &\le\int_{0}^{|z-z^*|}{|a||(u_1-u_0)|+|b||(v_1-v_0)|d\rho}\\\\\ &<\int_{0}^{|z-z^*|}{2^2mM^2\rho}d\rho\\\\\ &<\int_{0}^{|\hat{z}-z^*|}{2^2mM^2\rho}d\rho\\\\\ &=\int_{0}^{\rho}{2^2mM^2\rho}d\rho\\\\\ &=m\frac{(2M\rho)^2}{2!}\\\ \\ &\quad\ |v_2(z)-v_1(z)|<m\frac{(2M\rho)^2}{2!} \end{aligned} ∣u2(z)−u1(z)∣=∣ ∣∫0∣z−z∗∣[a(u1−u0)+b(v1−v0)]eiθdρ∣ ∣≤∫0∣z−z∗∣∣[a(u1−u0)+b(v1−v0)]∣dρ≤∫0∣z−z∗∣∣a∣∣(u1−u0)∣+∣b∣∣(v1−v0)∣dρ<∫0∣z−z∗∣22mM2ρdρ<∫0∣z^−z∗∣22mM2ρdρ=∫0ρ22mM2ρdρ=m2!(2Mρ)2 ∣v2(z)−v1(z)∣<m2!(2Mρ)2重复上述操作，则有： ∣ u n ( z ) − u n − 1 ( z ) ∣ < m ( 2 M ρ ) n n ! ∣ v n ( z ) − v n − 1 ( z ) ∣ < m ( 2 M ρ ) n n ! |u_n(z)-u_{n-1}(z)|<m\frac{(2M\rho)^n}{n!}\\\ \\ |v_n(z)-v_{n-1}(z)|<m\frac{(2M\rho)^n}{n!} ∣un(z)−un−1(z)∣<mn!(2Mρ)n ∣vn(z)−vn−1(z)∣<mn!(2Mρ)n那么有： ∣ u n ( z ) ∣ = ∣ [ u n − u n − 1 ( z ) ] + ⋯ + [ u 1 − u 0 ( z ) ] + u 0 ( z ) ∣ ≤ ∣ u n − u n − 1 ( z ) ∣ + ⋯ + ∣ u 1 − u 0 ( z ) ∣ + ∣ u 0 ( z ) ∣ < m ( 2 M ρ ) n n ! + m ( 2 M ρ ) n − 1 ( n − 1 ) ! + ⋯ + m ( 2 M ρ ) 1 1 ! ≜ A n ∣ v n ( z ) ∣ < A n \begin{aligned} &\quad\ |u_n(z)|\\\ \\ &=|[u_n-u_{n-1}(z)]+\dots+[u_1-u_0(z)]+u_0(z)|\\\ \\ &\le|u_n-u_{n-1}(z)|+\dots+|u_1-u_0(z)|+|u_0(z)|\\\ \\ &<m\frac{(2M\rho)^n}{n!}+m\frac{(2M\rho)^{n-1}}{(n-1)!}+\dots+m\frac{(2M\rho)^1}{1!}\\\ \\ &\triangleq A_n\\\ \\ &\quad\ |v_n(z)|<A_n \end{aligned} ∣un(z)∣=∣[un−un−1(z)]+⋯+[u1−u0(z)]+u0(z)∣≤∣un−un−1(z)∣+⋯+∣u1−u0(z)∣+∣u0(z)∣<mn!(2Mρ)n+m(n−1)!(2Mρ)n−1+⋯+m1!(2Mρ)1≜An ∣vn(z)∣<An显然 lim ⁡ n → ∞ A n = m e 2 M ρ \lim_{n\to\infty}{A_n}=me^{2M\rho} n→∞limAn=me2Mρ根据Weierstrass控制判别法知 u n ( z ) u_n(z) un(z)、 v n ( z ) v_n(z) vn(z)在区域 ⊙ z ∗ ∼ R \odot_{z^*\sim R} ⊙z∗∼R上一致收敛。记： u ^ ( z ) = lim ⁡ n → ∞ u n ( z ) v ^ ( z ) = lim ⁡ n → ∞ v n ( z ) \hat{u}(z)=\lim_{n\to\infty}u_n(z)\\\ \\ \hat{v}(z)=\lim_{n\to\infty}v_n(z) u^(z)=n→∞limun(z) v^(z)=n→∞limvn(z)显然，极限 u ^ ( z ) \hat{u}(z) u^(z)、 u ^ ( z ) \hat{u}(z) u^(z)是单值函数。根据一致收敛性的性质与柯西积分定理有： 0 = lim ⁡ n → ∞ ∫ γ u n ( z ) d z = ∫ γ lim ⁡ n → ∞ u n ( z ) d z = ∫ γ u ^ n ( z ) d z 0 = lim ⁡ n → ∞ ∫ γ v n ( z ) d z = ∫ γ lim ⁡ n → ∞ v n ( z ) d z = ∫ γ v ^ n ( z ) d z 0=\lim_{n\to\infty}\int_{\gamma}u_n(z)dz=\int_{\gamma}\lim_{n\to\infty}u_n(z)dz=\int_{\gamma}\hat{u}_n(z)dz\\\ \\ 0=\lim_{n\to\infty}\int_{\gamma}v_n(z)dz=\int_{\gamma}\lim_{n\to\infty}v_n(z)dz=\int_{\gamma}\hat{v}_n(z)dz 0=n→∞lim∫γun(z)dz=∫γn→∞limun(z)dz=∫γu^n(z)dz 0=n→∞lim∫γvn(z)dz=∫γn→∞limvn(z)dz=∫γv^n(z)dz其中， γ \gamma γ 为 ⊙ z ∗ ∼ R \odot_{z^*\sim R} ⊙z∗∼R内的任意闭曲线，则根据Morera 定理知 u ^ ( z ) \hat{u}(z) u^(z)、 u ^ ( z ) \hat{u}(z) u^(z)在 ⊙ z ∗ ∼ R \odot_{z^*\sim R} ⊙z∗∼R上解析。还需要验证极限 u ^ ( z ) \hat{u}(z) u^(z)、 u ^ ( z ) \hat{u}(z) u^(z)是（2-2）的解： u ^ ( z ) = lim ⁡ n → ∞ u n ( z ) = α + lim ⁡ n → ∞ ∫ z ∗ z [ a ( ζ ) u n − 1 ( ζ ) + b ( ζ ) v n − 1 ( ζ ) ] d ζ = α + ∫ z ∗ z [ a ( ζ ) lim ⁡ n → ∞ u n − 1 ( ζ ) + b ( ζ ) lim ⁡ n → ∞ v n − 1 ( ζ ) ] d ζ = α + ∫ z ∗ z [ a ( ζ ) u ^ ( ζ ) + b ( ζ ) v ^ ( ζ ) ] d ζ v ^ ( z ) = β + ∫ z ∗ z [ c ( ζ ) u ^ ( ζ ) + d ( ζ ) v ^ ( ζ ) ] d ζ \begin{aligned} &\quad\ \hat{u}(z)\\\ \\ &=\lim_{n\to\infty}u_n(z)\\\ \\ &=\alpha+\lim_{n\to\infty}\int_{z^*}^{z} {[a(\zeta)u_{n-1}(\zeta)+b(\zeta)v_{n-1}(\zeta)]d\zeta}\\\ \\ &=\alpha+\int_{z^*}^{z} {[a(\zeta)\lim_{n\to\infty}u_{n-1}(\zeta)+b(\zeta)\lim_{n\to\infty}v_{n-1}(\zeta)]d\zeta}\\\ \\ &=\alpha+\int_{z^*}^{z} {[a(\zeta)\hat{u}(\zeta)+b(\zeta)\hat{v}(\zeta)]d\zeta}\\\ \\ &\quad\ \hat{v}(z)=\beta+\int_{z^*}^{z} {[c(\zeta)\hat{u}(\zeta)+d(\zeta)\hat{v}(\zeta)]d\zeta} \end{aligned} u^(z)=n→∞limun(z)=α+n→∞lim∫z∗z[a(ζ)un−1(ζ)+b(ζ)vn−1(ζ)]dζ=α+∫z∗z[a(ζ)n→∞limun−1(ζ)+b(ζ)n→∞limvn−1(ζ)]dζ=α+∫z∗z[a(ζ)u^(ζ)+b(ζ)v^(ζ)]dζ v^(z)=β+∫z∗z[c(ζ)u^(ζ)+d(ζ)v^(ζ)]dζ即有： { u ^ ′ ( z ) = a ( z ) u ^ ( z ) + b ( z ) v ^ ( z ) , u ^ ( z ∗ ) = α v ^ ′ ( z ) = c ( z ) u ^ ( z ) + d ( z ) v ^ ( z ) , v ^ ( z ∗ ) = β \begin{cases}\hat{u}'(z)=a(z)\hat{u}(z)+b(z)\hat{v}(z)&,\hat{u}(z^*)=\alpha\\\\ \hat{v}'(z)=c(z)\hat{u}(z)+d(z)\hat{v}(z)&,\hat{v}(z^*)=\beta\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧u^′(z)=a(z)u^(z)+b(z)v^(z)v^′(z)=c(z)u^(z)+d(z)v^(z),u^(z∗)=α,v^(z∗)=β最后证明解的唯一性：
设（2-2）有两组解析解 { u , v } \{u,v\} {u,v}与 { u ∗ , v ∗ } \{u^*,v^*\} {u∗,v∗}，那么 ∣ u − u ∗ ∣ = ∣ ∫ z ∗ z { a ( ζ ) [ u ( ζ ) − u ∗ ( ζ ) ] + b ( ζ ) [ v ( ζ ) − v ∗ ( ζ ) ] } d ζ ∣ ≤ ∫ z ∗ z ∣ a ( ζ ) ∣ ∣ u ( ζ ) − u ∗ ( ζ ) ∣ + ∣ b ( ζ ) ∣ ∣ v ( ζ ) − v ∗ ( ζ ) ∣ d ζ ( 2 − 3 ) \begin{aligned} &\quad\ |u-u^*|\\\ \\ &=\left|\int_{z^*}^{z} {\{a(\zeta)[u(\zeta)-u^*(\zeta)]+b(\zeta)[v(\zeta)-v^*(\zeta)]\}d\zeta}\right|\\\ \\ &\le\int_{z^*}^{z} {|a(\zeta)||u(\zeta)-u^*(\zeta)|+|b(\zeta)||v(\zeta)-v^*(\zeta)|d\zeta}\qquad(2-3) \end{aligned} ∣u−u∗∣=∣ ∣∫z∗z{a(ζ)[u(ζ)−u∗(ζ)]+b(ζ)[v(ζ)−v∗(ζ)]}dζ∣ ∣≤∫z∗z∣a(ζ)∣∣u(ζ)−u∗(ζ)∣+∣b(ζ)∣∣v(ζ)−v∗(ζ)∣dζ(2−3)由于 u u u、 u ∗ u^* u∗、 v v v、 v ∗ v^* v∗是 ⊙ z ∗ ∼ R : ∣ z − z ∗ ∣ < R （ R > 0 ） \odot_{z^*\sim R}:|z-z^*|<R（R>0） ⊙z∗∼R:∣z−z∗∣<R（R>0）上的解析函数，则 ∃ N > 0 ， s . t . ∣ u ( ζ ) − u ∗ ( ζ ) ∣ < N ， ∣ v ( ζ ) − v ∗ ( ζ ) ∣ < N \exists N>0，s.t.\ |u(\zeta)-u^*(\zeta)|<N，|v(\zeta)-v^*(\zeta)|<N ∃N>0，s.t. ∣u(ζ)−u∗(ζ)∣<N，∣v(ζ)−v∗(ζ)∣<N故 ∣ u − u ∗ ∣ ≤ 2 M N ρ |u-u^*|\le2MN\rho ∣u−u∗∣≤2MNρ反复回代至（2-3）得到： ∣ u − u ∗ ∣ ≤ N ( 2 M ρ ) n n ! ; n → ∞ , ∣ u − u ∗ ∣ → 0 |u-u^*|\le N\frac{(2M\rho)^n}{n!};\quad n\to\infty,|u-u^*|\to0 ∣u−u∗∣≤Nn!(2Mρ)n;n→∞,∣u−u∗∣→0同理可得： ∣ v − v ∗ ∣ ≤ N ( 2 M ρ ) n n ! ; n → ∞ , ∣ v − v ∗ ∣ → 0 |v-v^*|\le N\frac{(2M\rho)^n}{n!};\quad n\to\infty,|v-v^*|\to0 ∣v−v∗∣≤Nn!(2Mρ)n;n→∞,∣v−v∗∣→0而 u u u、 u ∗ u^* u∗、 v v v、 v ∗ v^* v∗与 n n n无关，故： u ≡ u ∗ v ≡ v ∗ u\equiv u^*\qquad v\equiv v^* u≡u∗v≡v∗

Remark:
(1). 对于二阶齐次线性常微分方程可采用函数序列 u n ( z ) u_n(z) un(z)、 v n ( z ) v_n(z) vn(z) 逐步逼近求解；
(2). 由上述定理可知：常点 z ∗ z^* z∗ 的领域内二阶齐次线性常微分方程存在唯一单值解析解，根据泰勒定理，方程的解可展为幂级数： w ( z ) = ∑ n = 0 ∞ c n ( z − z ∗ ) n w(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z^*)^n w(z)=n=0∑∞cn(z−z∗)n且 w ( z ∗ ) = c 0 w ′ ( z ∗ ) = c 1 w(z^*)=c_0\\\ \\ w'(z^*)=c_1 w(z∗)=c0 w′(z∗)=c1另外,方程的系数 p ( z ) p(z) p(z)、 q ( z ) q(z) q(z)（已知函数）在 z ∗ z^* z∗处解析也可进行泰勒展: p ( z ) = ∑ n = 0 ∞ a n ( z − z ∗ ) n ， a n = 1 n ! p ( n ) ( z ∗ ) q ( z ) = ∑ n = 0 ∞ b n ( z − z ∗ ) n ， b n = 1 n ! q ( n ) ( z ∗ ) p(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z^*)^n，a_n=\frac{1}{n!}p^{(n)}(z^*)\\\ \\ q(z)=\sum_{n=0}^{\infty}b_n(z-z^*)^n，b_n=\frac{1}{n!}q^{(n)}(z^*) p(z)=n=0∑∞an(z−z∗)n，an=n!1p(n)(z∗) q(z)=n=0∑∞bn(z−z∗)n，bn=n!1q(n)(z∗)代入原二阶齐次线性方程中，并根据函数族 { 1 , ( z − z ∗ ) , ( z − z ∗ ) 2 , … , ( z − z ∗ ) n } \{1,(z-z^*),(z-z^*)^2,\dots,(z-z^*)^n\} {1,(z−z∗),(z−z∗)2,…,(z−z∗)n}的线性无关性得到数列 { c n } \{c_n\} {cn} 的递推关系，进一步求出所有组合系数 c n c_n cn。

（2-1）二阶线性常微分方程相关理论相关推荐

高数_第5章常微分方程_二阶线性微分方程解的结构
二阶线性微分方程的一般形式是 y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) -------- (1) 这里所谓的线性是指未知函数 y 及其一阶导y', ...
基于线性常微分方程的我国某省艾滋病传播的数学模型建立和预测分析
基于线性常微分方程的我国某省艾滋病传播的数学模型建立和预测分析如有错误,欢迎指正!转载需注明出处和作者信息!©️Sylvan Ding 摘要艾滋病(AIDS)又称获得性免疫缺陷综合征,由人类免疫缺 ...
二阶线性偏微分方程的分类和标准式 | 椭圆型、抛物线形、双曲线型 | 偏微分方程（十一）
一般地,n个自变量的二阶线性偏微分方程可表示为 ∑i,j=1naij(x1,⋅⋅⋅,xn)∂2u∂xi∂xj+∑j=1nbj(x1,⋅⋅⋅,xn)∂u∂xj+c(x1,⋅⋅⋅,xn)u=f(x1,⋅⋅ ...
用MATLAB app designer设计人机交互界面——二阶线性动态电路可视化分析的研究
用MATLAB app designer设计人机交互界面--二阶线性动态电路可视化分析的研究这是我第一次尝试写博客,我试着给出电路课上要求的电路实验编程.但是电路的类型有点儿多,所以我只以二阶动态电 ...
matlab编辑二阶线性系统,基于MATLAB的二阶线性系统分析与仿真
第26卷第5期河池学院学报 Vol .26No .52006年10月 JOURNAL OF HECH IUN I V ERSI TY Oct .2006基于MAT LAB 的二阶线性系统分析与仿真 ...
matlab 二阶非线性微分方程组,二阶非线性常微分方程的打靶法matlab实现.doc
二阶非线性常微分方程的打靶法matlab实现.doc 二阶非线性常微分方程的打靶法1.问题:试用打靶法求二阶非线性常微分方程亮点边值的数值解:要求用Matlab编程计算,请给出一些例子,验证你的算法与 ...
卡尔曼滤波（kalman）相关理论以及与HMM、最小二乘法关系转
卡尔曼滤波(kalman)相关理论以及与HMM.最小二乘法关系_weixin_30527143的博客-CSDN博客
元胞自动机与相关理论和方法
元胞自动机与相关理论和方法的发展有着千丝万缕的联系,一方面,元胞自动机的发展得益于相关理论的研究,如逻辑数学.离散数学.计算机中的自动机理论,图灵机思想;另一方面,元胞自动机的发展也促进了一些相关学科 ...
trunk口_南京课工场IT培训：VLAN、Trunk与三层交换机的相关理论知识
各位小伙伴大家好,本次和大家分享的是VLAN.Trunk与三层交换机的相关理论知识,接下来我会从下面几个方面为大家进行解析: 1.VLAN的概念及优势 2.VLAN的种类 3.静态VLAN的配置 4. ...

（2-1）二阶线性常微分方程相关理论

本文主要涉及内容如下：

1. 二阶齐次线性常微分方程的常点与奇点

2. 二阶齐次线性常微分方程在常点邻域内的解

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