[数论]上帝与集合的正确用法

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题目描述

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：

第一天，上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。

第二天，上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。

第三天，上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。

第四天，上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。

如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。

然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……

然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。

至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？

上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。

你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素，或10^18次，或者干脆∞次。

一句话题意：

求2^2^2^2^{...} mod p2^2^2^2^{...} mod p2^2^2^2^{...} mod p

输入格式：
第一行一个整数T，表示数据个数。

接下来T行，每行一个正整数p，代表你需要取模的值

输出格式：
T行，每行一个正整数，为答案对p取模后的值

题解

前面的一大堆都是废话awa,本题就是要求二的无数次方模P的值
无数次方？那怎么取模？
当然想到拓展欧拉定理：

然后。。就没有了。。
递归求取模的数，直到为1。
欧拉函数的值用线性欧拉筛来求，不会超时。
最后返回值会是一个2的n次方，用快速幂取模来做。

代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#define maxn 10000007ll
#define ll long long
using namespace std;
int phi[maxn],prime[maxn],bk[maxn];
ll t,p;
void silt()
{int tot=0;for(int i=2;i<=maxn;i++){if(!bk[i]){prime[++tot]=i;phi[i]=i-1;}for(int j=1;prime[j]*i<=maxn&&j<=tot;j++){bk[prime[j]*i]=true;if(i%prime[j]==0){phi[prime[j]*i]=phi[i]*prime[j];break;}phi[prime[j]*i]=phi[i]*(prime[j]-1);}}
}
ll quick(ll a,ll b,ll c)
{  ll ans=1;a=a%c;while(b!=0)  {  if(b&1) ans=(ans*a)%c;b>>=1;a=(a*a)%c;}  return ans;
}
ll extEuclid(ll mod)
{if(mod==1) return 0;else return quick(2ll,(ll)extEuclid(phi[mod])+phi[mod],mod);
}
int main()
{phi[1]=1;silt();scanf("%lld",&t);while(t--){scanf("%lld",&p);printf("%lld\n",extEuclid(p));}return 0;
}

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