轴对称问题和勒让德多项式
转动对称问题和连带勒让德函数
一般问题和球函数

轴对称问题和勒让德多项式

球谐函数： $\frac{1}{sin\,\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left ( sin\,\theta\frac{\partial Y}{\partial \theta} \right )+\frac{1}{sin^2\theta}\frac{\partial^2Y}{\partial \varphi^2}+l(l+1)Y=0$

分离变量有： $Y(\theta,\varphi)=(A\,cos\,m\varphi+B\,sin\,n\varphi)\Theta(\theta)$

其中， $\Theta(\theta)$ 满足连带勒让德方程： $(1-x^2)\frac{d^2\Theta}{dx^2}-2x\frac{d\Theta}{dx}+\begin{bmatrix} l(l+1)-\frac{m^2}{1-x^2} \end{bmatrix}\Theta=0$

对于奇数和偶数次幂的级数解，只有一个能满足自然边界条件的解，它要求ℓ必须为整数，从而使无穷级数截断为有限阶，称作ℓ阶勒让德多项式
勒让德多项式系数递推公式： $a_{k+2}=\frac{k^2+k-l(l+1)}{(k+2)(k+1)}a_k$
$P_l(x)=\sum_{k=0}^{[l/2]}\frac{(-1)^k(2l-2k)!}{2^lk!(l-k)!(l-2k)!}x^{l-2k}$
微分表示： $P_l(x)=\frac{1}{2^ll!}\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l$
积分表示： $\frac{1}{2\pi i}\frac{1}{2^l}\oint \frac{(z^2-1)^l}{(z-x)^{l+1}}dz$
常用的勒让德多项式：
$\left\{\begin{matrix} P_0(x)=1\\ P_1(x)=cos\,\theta\\ P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1)=\frac{1}{4}(3\,cos\,2\theta+1)\\ P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x)=\frac{1}{8}(5\,cos\,3\theta+3\,cos\,\theta)\\ P_4(x)=\frac{1}{2}(35x^4-30x^2+3)=\frac{1}{64}(35\,cos\,4\theta+20\,cos\,2\theta+9) \end{matrix}\right.$

##Python 实现 legendre Polynomialimport sympy as symx = sym.Symbol("x")def Legendre_Polynomial(N,x):##N:勒让德多项式的阶数##x:自变量if N == 0:return 1elif N == 1:return xP0 = Legendre_Polynomial(0,x)P1 = Legendre_Polynomial(1,x)assert N>=2,"输入阶数N非正整数!!"for i in range(1,N):P  = (2*i+1)/(i+1)*x*P1 - i/(i+1)*P0P0 = P1P1 = Preturn sym.simplify(P1)for i in range(10):print(Legendre_Polynomial(i,x))

1
x
1.5*x**2 - 0.5
x*(2.5*x**2 - 1.5)
4.375*x**4 - 3.75*x**2 + 0.375
x*(7.875*x**4 - 8.75*x**2 + 1.875)
14.4375*x**6 - 19.6875*x**4 + 6.5625*x**2 - 0.3125
x*(26.8125*x**6 - 43.3125*x**4 + 19.6875*x**2 - 2.1875)
50.2734375*x**8 - 93.84375*x**6 + 54.140625*x**4 - 9.84375*x**2 + 0.2734375
x*(94.9609375*x**8 - 201.09375*x**6 + 140.765625*x**4 - 36.09375*x**2 + 2.4609375)

X = np.linspace(-1,1,100)
for i in range(0,11):if i == 0:Y = np.ones((X.shape))plt.plot(X,Y,label="orders:"+str(i))else:expression = Legendre_Polynomial(i,x)expression = sym.lambdify([x],expression,"numpy")Y = expression(X)plt.plot(X,Y,label="orders:"+str(i))plt.legend()
plt.savefig("today.jpg")

轴对称的拉氏方程的定解问题的通解为

$u(r,\theta)=\sum_{l=0}^\infty \left ( A_lr^l+\frac{B_l}{r^{l+1}} \right )P_l(cos\,\theta)$

勒让德多项式的性质

奇偶性 $P_l(-x)=(-1)^lP_l(x)$
零点定理：L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点
正交性： $\int_{-1}^{1}P_k(x)P_l(x)dx=0(k\neq l)$
模： $N_l^2=\int_{-1}^1P_l^2(x)dx\,\,\,\,N_l=\sqrt{\frac{2}{2l+1}}(l=0,1,2,...)$
完备性： $\left\{\begin{matrix} f(x)=\sum_{l=0}^{\infty}f_lP_l(x)\\ f_l=\frac{2l+1}{2}\int_{-1}^1f(x)P_l(x)dx \end{matrix}\right.$

连带勒让德函数

$\left\{\begin{matrix} (1-x^2)\frac{d^2\Theta}{dx^2}-2x\frac{d\Theta}{dx}+\begin{bmatrix} l(l+1)-\frac{m^2}{1-x^2} \end{bmatrix}\Theta=0(m=0,1,2,...)\\ y|_{x=\pm1}\rightarrow Finity \end{matrix}\right.$

本征值： $l(l+1),l=0,1,2,...$

对应的本征函数： $(1-x^2)y''-2(m+1)xy'+\begin{bmatrix} l(l+1)-m^2 \end{bmatrix}y=0(m=0,1,2,...)$

$P_l^m(x)=(1-x^2)^{m/2}P_l^{(m)}(x)$

奇偶性： $P_l^m(-x)=(-1)^{l+m}P_l^m(x)$
正交性： $\int_{-1}^{1}P_k^m(x)P_l^m(x)dx=\delta_{k,l}(N_l^m)^2$
模： $\left ( N_l^m \right )^2=\frac{2}{2l+1}\frac{(l+m)!}{(l-m)!}$
完备性：m相同的连带勒让德函数是完备的 $\left\{\begin{matrix} f(x)=\sum_{l=0}^{\infty}f_lP_l^m(x)\\ f_l=\frac{1}{(N_l^m)^2}\int_{-1}^1f(x)P_l^m(x)dx \end{matrix}\right.$

球函数

$\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial u}{\partial r})+\frac{1}{r^2sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(sin\,\theta\frac{\partial u}{\partial \theta})+\frac{1}{r^2sin^2\theta}\frac{\partial^2u}{\partial\varphi^2}=0$

$u(r,\theta,\varphi)=R(r)Y(\theta,\varphi)=\left\{\begin{matrix} \frac{d}{dr}(r^2\frac{dR}{dr})-l(l+1)R=0\\ \frac{1}{sin\,\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(sin\theta\frac{\partial Y}{\partial \theta})+\frac{1}{sin^2\theta}\frac{\partial^2Y}{\partial \varphi^2}+l(l+1)Y=0 \end{matrix}\right.$

$Y(\theta,\varphi)=\Theta(\theta)\Phi(\varphi)=\left\{\begin{matrix} \Phi''+\lambda \Phi=0\rightarrow \Phi(\varphi)=A\,cos\,m\varphi+B\,sin\,m\varphi\\ sin\,\theta\frac{d}{d\theta}(sin\,\theta\frac{d\Theta}{d\theta})+[l(l+1)sin^2\theta-\lambda]\Theta=0\rightarrow P_l^m(x) \end{matrix}\right.$

球函数方程的解为球函数： $Y_l^m(\theta,\varphi)=P_l^m(cos\,\theta)(A_l^m\,cos\,\varphi m+B_l^m\,sin\,\varphi m)=P_l^m(cos\,\theta)\begin{Bmatrix} sin\,m\varphi\\ cos\,m\varphi \end{Bmatrix}$

球函数的性质

正交性： $\iint_{S}Y_l^mY_k^nd\Omega ==\delta_{n,m}\delta_{l,k}(N_l^m)^2$
$\iint_{S}d\Omega=\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^\pi sin\,\theta d\theta$
$(N_l^m)^2=\frac{4\pi}{2l+1}\frac{(l+m)!}{(l-m)!}$
完备性： $f(\theta,\varphi)=\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{l=m}^{\infty}[A_l^m\,cos\,m\varphi+B_l^m\,sin\,m\varphi]P_l^m(cos\,\theta)$

拉普拉斯方程的非轴对称定解问题

关于非轴对称的拉氏方程的定解问题的通解为

$\begin{matrix} u(r,\theta,\varphi)=\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{l=m}^{\infty}r^l(A_l^mcos\,m\varphi+B_l^msin\,m\varphi)P_l^m(cos\,\theta)+\\ \sum_{m=0}^{\infty}\sum_{l=m}^{\infty}r^{-(l+1)}(C_l^mcos\,m\varphi+D_l^msin\,m\varphi)P_l^m(cos\,\theta) \end{matrix}$

连带勒让德多项式函数

$P_l^m(x)\equiv \left ( 1-x^2 \right )^{\frac{m}{2}}\frac{d^mP_l(x)}{dx^m}$

连带勒让德多项式的微分表达式

$P_l^m(x)=(1-x^2)^{\frac{m}{2}}P_l^{(m)}(x)=\frac{(1-x^2)^{\frac{m}{2}}}{2^ll!}\frac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}(x^2-1)^l$

几个连带勒让德多项式

$\begin{matrix} P_1^1(x)=(1-x^2)^\frac{1}{2}=sin\,\theta\\ P_2^1(x)=(1-x^2)^\frac{1}{2}(3x)=\frac{3}{2}sin\,2\theta\\ P_2^2(x)=(1-x^2)(3)=3sin^2\theta \end{matrix}$

母函数公式

$\frac{q}{\sqrt{r^2+b^2-2rbcos\,\theta}}=\frac{q}{b}\sum_{l=0}^{\infty}(\frac{r}{b})^lP_l(cos\,\theta)$

Gauss–Legendre algorithm 计算圆周率

可用于性能测试

$a_0=1,b_0=\frac{1}{\sqrt{2}},t_0=\frac{1}{4},p_0=1$

$\begin{matrix} a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\\ b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\\ t_{n+1}=t_n-p_n(a_n-a_{n+1})^2\\ p_{n+1}=2p_n \end{matrix}$

$\pi \approx \frac{(a_{n+1}+b_{n+1})^2}{4t_{n+1}}$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plttol = 1e-100000
max_times = 100000
a,b,t,p = 1,1/2**0.5,1/4,1
ans = np.zeros(max_times,np.float64)
ans[0] = (a+b)**2/4/t
for i in range(1,max_times):an = (a+b)/2bn = (a*b)**0.5tn = t - p*(a-an)**2pn = 2*pa = anb = bnt = tnp = pnans[i] = (a+b)**2/4/tif ans[i]-ans[i-1] <= tol:ans = ans[:i]breakplt.plot(range(len(ans)),ans)
plt.show()

>>>ansarray([2.91421356, 3.14057925, 3.14159265, 3.14159265])

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