闲聊之π和e到底是个啥

π和e

1. 圆周率π

耳熟能详的π，到底是什么，怎么来的？

圆周率π，圆的周长C=2πr，其中r是圆的半径

1.1 刘徽割圆术

如图中所示，作出圆内的正十二边形，正二十四边形，…，用这种思想去无限逼近圆的周长。这是我国魏晋时期的数学家刘徽的割圆术思想。（是不是形同微积分？）

1.2 π的数学定义

对于圆内的正n边形（n=3,4,5,…），对于上图中的θ角，有θ=360°/n，则对于该正n边形的边长x有

x=2rsin(θ/2)，那么通过正n边形的周长即可近似计算圆的周长：

当n趋向于无穷大，nx就无限逼近与圆周长C。 用微积分的数学表述则是：

令

则有圆的周长：

这样便得到π的数学表达式。（注意看，π的数学定义中就有sin()三角函数，大自然奇妙就奇妙在无法解释之处，不是么）

2. 自然底数e

2.1 复利公式

学过初等数学的都知道自然底数e，e=2.71828…，那么e到底怎么来的呢？

据说最初e并不是在数据界诞生的，而是为了解决金融复利问题：

假设在银行存款本金1元，年利率是100%（有点疯狂），一年之后本息合计多少钱？

1x(1+100%) = 2元
假设按月计息，月利息按100%/12算，一年之后本息是多少？
假设按周计息呢，周利息按1/52算，一年之后本息是多少？

将一年时间划分成n份，单位时间内利息为1/n，一年之后本息是多少？考虑极限情况呢？

2.2 e的数学定义

对于上面例子中的，得出e的数学定义

对于上述e的数学定义来说，e到底等于多少呢？是不是一个确定值呢？

这里需要用一下牛顿二项式定理：

使用牛顿二项式定理对e进行展开计算：

则可推导对于 n -> ∞ 时：

由此，可以推出e的另一个数学表达式，级数展开式：

3. 级数展开式

3.1 π的级数展开式

苏格兰数学家格雷戈里在1671年推出一个公式：

该公式的推导证明比较复杂，涉及泰勒级数、牛顿插值法等，其实它们之间都互推有关系的，而且泰勒生年还在格雷戈里之后呢，那段历史感兴趣的可以去读读，这里就不考古哪个公式到底是谁提的，只看数学公式。将格雷戈里公式中x=1，则可得到π的级数展开式：

是不是终于感觉π不再神乎其乎的了，可以用完全看得懂阿拉伯数字和加减符号写出来了？就是这么神奇。

3.2 e的级数展开式

上一节中，已经提到了e的级数展开，就是：

π = 3.14159…

e = 2.71828…

无理数，或称为无限不循环小数，不能写作两整数之比，若将它写成小数形式，则小数部分是无限不循环。π和e都是无理数。证明略。

超越数，超越数是不能作为有理系数多项式方程的根的数，π和e都是超越数。证明略。

4. 欧拉公式

自然底数e也叫欧拉数e，因为欧拉是最早广泛研究它的，并取名e，所以也就叫欧拉数。

公元1748年，欧拉给出了那个让世界为之闪耀的公式欧拉公式：

其中，e是自然底数，i是虚数单位。令x=π，则欧拉公式简化为：

神不神奇，该公式由自然底数e，圆周率π，虚数单位i，自然数单位1，以及永恒的0组成。

看下面这个复平面理解图：x代表点绕Re轴的弧度，Re是实轴，Im是虚轴

当点在复平面内做圆周运动，便可用欧拉公式来描述。随着时间的改变，复平面内圆周运动轨迹就成了螺旋曲线。

宇宙万物，自旋运动与圆周运动，构成了每个时刻在旋转的浩瀚星系，里面又有个欧拉公式，实在妙哉。

【参考文献】

从代数基本定理到超越数：一段经典数学的奇幻之旅/冯承天著.
https://betterexplained.com/articles/easy-trig-identities-with-eulers-formula/