P3338 [ZJOI2014]力

Ej=Fjqj=∑i=1j−1qi(i−j)2−∑i=j+1nqi(i−j)2E_j= \frac{F_{j}}{q_{j}} =\sum_{i=1}^{j-1} \frac{q_{i}}{(i-j)^2}-\sum_{i=j+1}^{n} \frac{q_{i}}{(i-j)^2}Ej=qjFj=∑i=1j−1(i−j)2qi−∑i=j+1n(i−j)2qi

思想一：只要是能在时间范围内弄出来的函数，都可以直接转

令f(i)=1i2令f(i)=\frac{1}{i^2}令f(i)=i21

Ej=∑i=1j−1qi×f(j−i)−∑i=j+1nqi×f(i−j)E_j= \sum_{i=1}^{j-1} {q_{i}} \times f(j-i)-\sum_{i=j+1}^{n} {q_{i}} \times f(i-j)Ej=∑i=1j−1qi×f(j−i)−∑i=j+1nqi×f(i−j)

前者卷积式，后者再推：
\text{}
\text{}
\text{}

思想二：重定义，让参数从1开始

∑i=j+1nqif(i−j)\sum_{i=j+1}^{n} {q_{i}}f(i-j)∑i=j+1nqif(i−j)

=qj+1f(1)+qj+2f(2)+qj+3f(3)+......qj+(n−j)f(n−j)=q_{j+1}f(1)+q_{j+2}f(2)+q_{j+3}f(3)+......q_{j+(n-j)}f(n-j)=qj+1f(1)+qj+2f(2)+qj+3f(3)+......qj+(n−j)f(n−j)

=∑t=1n−jqj+tf(t)=\sum_{t=1}^{n-j} {q_{j+t}}f(t)=∑t=1n−jqj+tf(t)

\text{}
\text{}
\text{}

思想三：卷积的2个多项式参数都为正时，翻转使其中一个变负

令q(j+t)=q′(n−j−t+1)令q(j+t)=q'(n-j-t+1)令q(j+t)=q′(n−j−t+1)

原式=∑t=1n−jq′(n−j−t+1)f(t)原式=\sum_{t=1}^{n-j} {q'(n-j-t+1)}f(t)原式=∑t=1n−jq′(n−j−t+1)f(t)

令k=n−j原式为∑t=1kq′(k−t+1)f(t)令k=n-j \ \ 原式为\sum_{t=1}^{k} {q'(k-t+1)}f(t)令k=n−j 原式为∑t=1kq′(k−t+1)f(t)

正好表示卷积后第k+1k+1k+1项的系数
\text{}\text{}
\text{}
\text{}

所以，总结：
Ej=∑i=1j−1qi×f(j−i)−∑t=1kq′(k−t+1)f(t)E_j= \sum_{i=1}^{j-1} {q_{i}} \times f(j-i)-\sum_{t=1}^{k} {q'(k-t+1)}f(t)Ej=∑i=1j−1qi×f(j−i)−∑t=1kq′(k−t+1)f(t)

A:A :A:将 qqq 与 fff 卷起来，对于每个 jjj，取第 jjj 项系数
B:B:B:将 q′q'q′ 与 fff 卷起来，对于每个 jjj，取第 n−j+1n-j+1n−j+1项系数
A−BA-BA−B即为所求

精度问题：

(double)(1.0 / i / i)

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const double pi=acos(-1.0);
const int N=1000100;int limit,rev[N];
struct comp{double x,y;comp(double xx=0,double yy=0) { x=xx;y=yy; }friend comp operator + (const comp &a,const comp &b) { return comp(a.x+b.x , a.y+b.y); }friend comp operator - (const comp &a,const comp &b) { return comp(a.x-b.x , a.y-b.y); }friend comp operator * (const comp &a,const comp &b) { return comp(a.x*b.x-a.y*b.y , a.y*b.x + a.x*b.y); }
}q[N],Q[N],f[N];//A[N<<3],B[N<<3];//limit最大6*N int minn(int x,int y) { return x<y?x:y; }
void fft(comp *a,double f)
{for(int i=0;i<limit;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1){comp wn=comp(cos(pi/mid),f*sin(pi/mid));for(int L=0,R=(mid<<1);L<limit;L+=R){comp w=comp(1.0,0.0);for(int k=0;k<mid;k++,w=w*wn){comp A1=a[L+k],A2=w*a[L+k+mid];a[L+k]=A1+A2;a[L+k+mid]=A1-A2;}}}if(f==-1)for(int i=0;i<limit;++i) a[i].x/=limit;
}
int main()
{int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&q[i].x);for(int i=1;i<=n;i++) Q[i].x=q[n-i+1].x;for(int i=1;i<=n;i++) f[i].x=(double)(1.0/i/i);int nn=(n<<1),l=0;limit=1;while(limit<nn) limit<<=1,l++;for(int i=1;i<limit;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1)<<(l-1);fft(q,1);fft(Q,1);fft(f,1);for(int i=0;i<limit;i++) Q[i]=Q[i]*f[i],q[i]=q[i]*f[i];fft(Q,-1);fft(q,-1);for(int j=1;j<=n;j++) printf("%.3lf\n",q[j]-Q[n-j+1]);return 0;
}

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Ej=Fjqj=∑i=1j−1qi(i−j)2−∑i=j+1nqi(i−j)2E_j= \frac{F_{j}}{q_{j}} =\sum_{i=1}^{j-1} \frac{q_{i}}{(i-j)^2}-\sum_{i=j+1}^{n} \frac{q_{i}}{(i-j)^2}Ej=qjFj=∑i=1j−1(i−j)2qi−∑i=j+1n(i−j)2qi

令f(i)=1i2令f(i)=\frac{1}{i^2}令f(i)=i21

Ej=∑i=1j−1qi×f(j−i)−∑i=j+1nqi×f(i−j)E_j= \sum_{i=1}^{j-1} {q_{i}} \times f(j-i)-\sum_{i=j+1}^{n} {q_{i}} \times f(i-j)Ej=∑i=1j−1qi×f(j−i)−∑i=j+1nqi×f(i−j)

∑i=j+1nqif(i−j)\sum_{i=j+1}^{n} {q_{i}}f(i-j)∑i=j+1nqif(i−j)

=qj+1f(1)+qj+2f(2)+qj+3f(3)+......qj+(n−j)f(n−j)=q_{j+1}f(1)+q_{j+2}f(2)+q_{j+3}f(3)+......q_{j+(n-j)}f(n-j)=qj+1f(1)+qj+2f(2)+qj+3f(3)+......qj+(n−j)f(n−j)

=∑t=1n−jqj+tf(t)=\sum_{t=1}^{n-j} {q_{j+t}}f(t)=∑t=1n−jqj+tf(t)

令q(j+t)=q′(n−j−t+1)令q(j+t)=q'(n-j-t+1)令q(j+t)=q′(n−j−t+1)

原式=∑t=1n−jq′(n−j−t+1)f(t)原式=\sum_{t=1}^{n-j} {q'(n-j-t+1)}f(t)原式=∑t=1n−jq′(n−j−t+1)f(t)

令k=n−j原式为∑t=1kq′(k−t+1)f(t)令k=n-j \ \ 原式为\sum_{t=1}^{k} {q'(k-t+1)}f(t)令k=n−j 原式为∑t=1kq′(k−t+1)f(t)

所以，总结：
Ej=∑i=1j−1qi×f(j−i)−∑t=1kq′(k−t+1)f(t)E_j= \sum_{i=1}^{j-1} {q_{i}} \times f(j-i)-\sum_{t=1}^{k} {q'(k-t+1)}f(t)Ej=∑i=1j−1qi×f(j−i)−∑t=1kq′(k−t+1)f(t)

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令f(i)=1i2令f(i)=\frac{1}{i^2}令f(i)=i21​

Ej=∑i=1j−1qi×f(j−i)−∑i=j+1nqi×f(i−j)E_j= \sum_{i=1}^{j-1} {q_{i}} \times f(j-i)-\sum_{i=j+1}^{n} {q_{i}} \times f(i-j)Ej​=∑i=1j−1​qi​×f(j−i)−∑i=j+1n​qi​×f(i−j)

∑i=j+1nqif(i−j)\sum_{i=j+1}^{n} {q_{i}}f(i-j)∑i=j+1n​qi​f(i−j)

=qj+1f(1)+qj+2f(2)+qj+3f(3)+......qj+(n−j)f(n−j)=q_{j+1}f(1)+q_{j+2}f(2)+q_{j+3}f(3)+......q_{j+(n-j)}f(n-j)=qj+1​f(1)+qj+2​f(2)+qj+3​f(3)+......qj+(n−j)​f(n−j)

=∑t=1n−jqj+tf(t)=\sum_{t=1}^{n-j} {q_{j+t}}f(t)=∑t=1n−j​qj+t​f(t)

令q(j+t)=q′(n−j−t+1)令q(j+t)=q'(n-j-t+1)令q(j+t)=q′(n−j−t+1)

原式=∑t=1n−jq′(n−j−t+1)f(t)原式=\sum_{t=1}^{n-j} {q'(n-j-t+1)}f(t)原式=∑t=1n−j​q′(n−j−t+1)f(t)

令k=n−j原式为∑t=1kq′(k−t+1)f(t)令k=n-j \ \ 原式为\sum_{t=1}^{k} {q'(k-t+1)}f(t)令k=n−j 原式为∑t=1k​q′(k−t+1)f(t)

所以，总结： Ej=∑i=1j−1qi×f(j−i)−∑t=1kq′(k−t+1)f(t)E_j= \sum_{i=1}^{j-1} {q_{i}} \times f(j-i)-\sum_{t=1}^{k} {q'(k-t+1)}f(t)Ej​=∑i=1j−1​qi​×f(j−i)−∑t=1k​q′(k−t+1)f(t)

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令f(i)=1i2令f(i)=\frac{1}{i^2}令f(i)=i21

Ej=∑i=1j−1qi×f(j−i)−∑i=j+1nqi×f(i−j)E_j= \sum_{i=1}^{j-1} {q_{i}} \times f(j-i)-\sum_{i=j+1}^{n} {q_{i}} \times f(i-j)Ej=∑i=1j−1qi×f(j−i)−∑i=j+1nqi×f(i−j)

∑i=j+1nqif(i−j)\sum_{i=j+1}^{n} {q_{i}}f(i-j)∑i=j+1nqif(i−j)

=qj+1f(1)+qj+2f(2)+qj+3f(3)+......qj+(n−j)f(n−j)=q_{j+1}f(1)+q_{j+2}f(2)+q_{j+3}f(3)+......q_{j+(n-j)}f(n-j)=qj+1f(1)+qj+2f(2)+qj+3f(3)+......qj+(n−j)f(n−j)

=∑t=1n−jqj+tf(t)=\sum_{t=1}^{n-j} {q_{j+t}}f(t)=∑t=1n−jqj+tf(t)

原式=∑t=1n−jq′(n−j−t+1)f(t)原式=\sum_{t=1}^{n-j} {q'(n-j-t+1)}f(t)原式=∑t=1n−jq′(n−j−t+1)f(t)

令k=n−j原式为∑t=1kq′(k−t+1)f(t)令k=n-j \ \ 原式为\sum_{t=1}^{k} {q'(k-t+1)}f(t)令k=n−j 原式为∑t=1kq′(k−t+1)f(t)

所以，总结：
Ej=∑i=1j−1qi×f(j−i)−∑t=1kq′(k−t+1)f(t)E_j= \sum_{i=1}^{j-1} {q_{i}} \times f(j-i)-\sum_{t=1}^{k} {q'(k-t+1)}f(t)Ej=∑i=1j−1qi×f(j−i)−∑t=1kq′(k−t+1)f(t)