数据结构入门之查找（七）

概述
- 常见术语
- 查找算法的评价指标
一、顺序查找
- 1.1 算法思想
- 1.2 算法实现与效率分析
- 1.3 算法优化的情况
- - 1.3.1 若表中元素有序
  - 1.3.2 若表中元素被查概率不等
二、折半查找
- 2.1 算法思想
- 2.2 算法实现与效率分析
- 2.3 查找判定树
- - 2.3.1 当mid=[(low+high)/2]向下取整
  - 2.3.2 当mid=[(low+high)/2]向上取整
三、分块查找
- 3.1 算法思想
- 3.2 算法实现与效率分析
- 3.3 算法优化
四、B树与B+树
五、散列查找（哈希查找）
- 5.1 概念
- 5.2 常见散列函数
- - 5.2.1 除留余数法
  - 5.2.2 直接定址法
  - 5.2.3 数字分析法
  - 5.2.4 平方取中法
- 5.3 冲突的处理方式
- - 5.3.1 拉链法
  - 5.3.2 开放定址法（三种）
  - 5.3.3 再散列法
- 5.4 查找效率
总结
代码附录

概述

常见术语

术语	解释
查找	在数据集合中寻找满⾜某种条件的数据元素的过程称为查找
查找表（查找结构）	⽤于查找的数据集合称为查找表，它由同⼀类型的数据元素（或记录）组成
关键字	数据元素中唯⼀标识该元素的某个数据项的值，使⽤基于关键字的查找，查找结果应该是唯⼀的

查找表又分为静态查找表和动态查找表：
静态查找表只需查找符合条件的数据元素（仅关注查找速度即可）
动态查找表还要插入、删除某个数据元素（还要关注插/删操作是否方便）

查找算法的评价指标

平均查找⻓度（ASL, Average Search Length ）：所有查找过程中进⾏关键字的比较次数的平均值，反映了查找算法时间复杂度
（通常考虑查找成功、查找失败两种情况下的ASL）
查找⻓度——在查找运算中，需要对⽐关键字的次数称为查找⻓度（散列查找拉链法中空指针的判定不算一次）

一、顺序查找

顺序查找，⼜叫“线性查找”，通常⽤于线性表，时间复杂度为O(n)

1.1 算法思想

从头到尾挨个找（或者从尾到头挨个找）

1.2 算法实现与效率分析

代码实现：

//查找表的数据结构——顺序表
typedef struct{ElemType *elem;      //动态数组的基址int TableLen;      //表的长度
}SSTable;//顺序查找
//法一:找到数组长度末尾为止（从头到尾找，查找表第一个元素下标为0）
int Search_Seq(SSTable ST, ElemType key)
{for(int i = 0; i < ST.TableLen && ST.elem[i] != key; i++){          //查找成功或者没找到时跳出循环}return (i==ST.TableLen? -1 : i);//查找成功时返回元素下标，没找到时返回-1
}//法二：找到哨兵为止（（从尾到头找查找表第一个元素下标为1，0存放哨兵）
int Search_Seq(SSTable ST, ElemType key)
{ST.elem[0]=key;                   //在数组第一个（下标为0）位置放置哨兵for(int i = ST.TableLen; ST.elem[i] != key; i--){           //查找成功（找到对应元素）或者没找到（找到哨兵）时跳出循环}return i;    //查找成功时返回对应次序，没找到时返回0
}

查找效率分析：
时间复杂度为O(n)

1.3 算法优化的情况

1.3.1 若表中元素有序

若当前关键字大于（小于）目标关键字时，可以提前判断查找失败

优点：
查找失败时ASL更少

用查找判定树分析ASL：

成功结点的关键字对比次数 = 结点所在层数
失败结点的关键字对比次数 = 其父结点所在层数

1.3.2 若表中元素被查概率不等

被查概率⼤的放在靠前位置，即可按被查概率降序排列

优点：
查找成功时ASL更少

二、折半查找

2.1 算法思想

折半查找，⼜称“⼆分查找”，仅适⽤于有序的顺序表
顺序表拥有随机访问的特性，链表没有

low：指向待查数组的最左侧（左闭，low指向的也有可能要查，故更新时low = mid+1）
high：指向待查数组的最右侧（右闭，high指向的也有可能要查，故更新时high = mid -1）
mid：指向待查数组的中间，分为向下取整和向上取整
则判断条件为：low <= high （low>high则查找失败了）

2.2 算法实现与效率分析

代码实现:

//查找表的数据结构——顺序表
typedef struct{ElemType *elem;      //动态数组的基址int TableLen;      //表的长度
}SSTable;//折半查找——增序序列（成功返回数组下标，失败返回-1）
int Binary_Search(SSTable L, ElemType key)
{   //准备指针（下标）int low = 0;int high = L.TableLen - 1;int mid;while(low<=high){mid = (low + high)/2;if(key == L.elem[mid]){return mid;}else if(key < L.elem[mid]){ high = mid - 1;}else       {low = mid + 1;}return -1;}
}

查找效率分析：
由查找判定树可知，树高（不包含失败结点）h = ⌈log₂(n + 1)⌉_向上取整，查找成功和查找失败的ASL ≤ h ，故折半查找的时间复杂度 = O(log₂n)

2.3 查找判定树

折半查找的判定树⼀定是平衡的排序⼆叉树，只有最下⾯⼀层是不满的。因此，元素个数为n时树⾼h = ⌈log₂(n + 1)⌉_向上取整

2.3.1 当mid=[(low+high)/2]向下取整

①如果当前low和high之间有奇数个元素，则 mid 分隔后，左右两部分元素个数相等
②如果当前low和high之间有偶数个元素，则 mid 分隔后，左半部分⽐右半部分少⼀个元素
综上：对于任何⼀个结点，必有：右⼦树结点数 - 左⼦树结点数=0或1

该查找判定树构造顺序过程：

失败结点：n+1个（等于成功结点的空链域数量）

2.3.2 当mid=[(low+high)/2]向上取整

①如果当前low和high之间有奇数个元素，则 mid 分隔后，左右两部分元素个数相等
②如果当前low和high之间有偶数个元素，则 mid 分隔后，左半部分⽐右半部分多⼀个元素
综上：对于任何⼀个结点，必有：左子树结点数 - 右子树结点数=0或1

该查找判定树构造顺序过程：

三、分块查找

特点：块内⽆序、块间有序

3.1 算法思想

分块查找，⼜称索引顺序查找，算法过程如下：
①在索引表中确定待查记录所属的分块（可顺序、可折半）
②在块内顺序查找

注意：若索引表中不包含⽬标关键字，则折半查找索引表最终停在 low>high，要在low所指分块中查找（low超出索引表范围时也会查找失败）
原因：最终找不到时high=low=mid：若key大于[mid]时，low后移一位，此时[low]>key；若key小于[mid]时，high前移一位，此时还是[low]>key————⽽分块存储的索引表中保存的是各个分块的最⼤关键字

3.2 算法实现与效率分析

索引表中保存每个分块的最⼤关键字和分块的存储区间
代码实现：

//索引表——保存每个分块的最⼤关键字和分块的存储区间
typedef struct {ElemType maxValue;int low, high;
}Index;//顺序表——存储实际元素
ElemType List[100];

查找效率分析：

3.3 算法优化

四、B树与B+树

五、散列查找（哈希查找）

5.1 概念

散列表（Hash Table），⼜称哈希表。是⼀种数据结构。特点是：数据元素的关键字key与其存储地址address直接相关

术语	解释
同义词	不同的关键字通过散列函数映射到同⼀个值
冲突	通过散列函数确定的位置已经存放了其他元素

5.2 常见散列函数

散列函数（哈希函数）：Addr=H(key)，可以计算⽬标元素存储地址，建⽴“关键字” 与“存储地址” 的联系

设计目标：对给定的关键字集合，应尽可能均匀地散列到各个地址，使不同关键字的冲突尽可能地少

散列查找是典型的“⽤空间换时间”的算法，只要散列函数设计的合理，则散列表越⻓，冲突的概率越低

5.2.1 除留余数法

散列函数：H(key) = key % p
注意：散列表表⻓为m，取⼀个不小于等于m且最接近m的质数p（⽤质数取模，分布更均匀，冲突更少），则可以映射的地址有p个，散列表有m-p个空位置

5.2.2 直接定址法

散列函数：H(key) = key 或 H(key) = a*key + b

它适合关键字的分布基本连续的情况

优缺点：
这种⽅法计算最简单，且不会产⽣冲突。（若关键字分布不连续，空位较多，则会造成存储空间的浪费）

5.2.3 数字分析法

散列函数：选取数码分布较为均匀的若⼲位作为散列地址。

这种⽅法适合于已知的关键字集合（例如：⼿机号后四位作为散列地址）。

优缺点：
若更换了关键字，则需要重新构造新的散列函数。

5.2.4 平方取中法

取关键字的平方值的中间几位作为散列地址。

这种⽅法得到的散列地址与关键字的每位都有关系，因此使得散列地址分布⽐较均匀，适⽤于关键字的每位取值都不够均匀或均⼩于散列地址所需的位数（例如：以“身份证号”作为关键字设计散列函数，可身份证号平⽅取中间5位）

5.3 冲突的处理方式

“冲突”多是避免不了的，“冲突”越多，查找效率越低——而不同的处理冲突的方式可以影响查找效率

5.3.1 拉链法

（⼜称链接法、链地址法）处理“冲突”：把所有“同义词”存储在⼀个链表中

ps：在插⼊新元素时，保持关键字有序，可微微提⾼查找效率（折半查找）

5.3.2 开放定址法（三种）

H_i = (H(key) + d_i) % m（其中m表示散列表表长，di为增量序列）
所谓开放定址法，是指可存放新表项的空闲地址既向它的同义词表项开放，⼜向它的非同义词表项开放，充分利用哈希表中的空闲位置。

举例：若散列函数为H(key) = key % p，
则哈希函数值域[0,p-1]——（直接映射到哈希表的范围）
冲突处理函数值域[0,m-1]——（可以填充满哈希表）
哈希表中可以多m-p个位置来存放关键字，使冲突降低

1. 线性探测法
对于H_i = (H(key) + d_i) % m，当d_i= 0, 1, 2, 3, …, m-1时，称为线性探测法。（即发⽣冲突时，每次往后探测相邻的下⼀个单元是否为空）

对于H(key)=key % p ，若取质数p=13，表长m=16，则
①映射14时：H(key)=14%13=1，此时发生第0次冲突（即没有冲突），得到的哈希地址为H₀=(1+ d₀)%16= 1
②映射1时：H(key)=1%13=1，会发生1次冲突，重新计算得到的哈希地址为H₁= (1+ d₁) % 16 = 2
③映射27时：H(key)=27%13=1，会发生3次冲突，重新计算得到的哈希地址为H₃= (1+ d₃) % 16 = 4
④一直映射到结束…
（即发⽣冲突时，每次往后探测相邻的下⼀个单元是否为空）
注意：映射时%p，重新计算处理冲突时%m

优缺点:

线性探测法很容易造成同义词、⾮同义词的“聚集（堆积）”现象，严重影响查找效率，因为冲突后再探测⼀定是放在某个连续的位置

2. 平方探测法
对于H_i = (H(key) + d_i) % m，当di = 0², 1², -1², 2², -2², …, k², -k²时，称为平方探测法，⼜称⼆次探测法，其中k ≤ m/2。
（注意负数的取模，见最后）

优缺点:

比起线性探测法更不易产⽣“聚集（堆积）”问题
散列表长度m必须是⼀个可以表示成4j + 3的素数，才能探测到所有位置

3. 线性探测法
对于H_i = (H(key) + d_i) % m，当d_i是⼀个伪随机序列，如 d_i = 0, 5, 24, 11, …，称为伪随机序列法。

4. 查找和删除的ASL分析
查找：同义词、⾮同义词都需要被检查（从映射的位置开始到表尾）

注意1：空位置的判断也要算作一次比较
注意2：越早遇到空位置，就可以越早确定查找失败

删除：采⽤“开放定址法”时，删除结点不能简单地将被删结点的空间置为空，否则将截断在它之后填入散列表的同义词结点的查找路径（查找的注意2）——可以做⼀个“删除标记”，进⾏逻辑删除

5.3.3 再散列法

除了原始的散列函数 H(key) 之外，多准备⼏个散列函数，当散列函数冲突时，⽤下⼀个散列函数计算⼀个新地址，直到不冲突为⽌：H_i = RH_i(Key) (i=1,2,3….,k)

5.4 查找效率

取决于散列函数、冲突的处理方式、装填因子α
装填因⼦α=表中记录数/散列表⻓度(会直接影响散列表的查找效率)

总结

取模或取余计算公式：

第一步：求整数商c：
①进行求模运算c = [a/b] = -7 / 4 = -2（向负无穷方向舍入），
②进行求余运算c = [a/b] = -7 / 4 = -1（向0方向舍入）；
第二步：计算模和余数的公式相同，但因c的值不同，
①求模时：r = a - c*b =-7 - (-2)4 = 1，
②求余时：r = a - cb = -7 - (-1)*4 =-3。

代码附录

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