(a+c)/(b+d)与a/b和c/d的关系

提问： a b \frac{a}{b} ba 和 c d \frac{c}{d} dc 与 a + c b + d \frac{a+c}{b+d} b+da+c 的大小是什么关系？

要回答这个问题并不困难，即使直觉上不那么强烈，举几个例子总能得出结果， a + c b + d \frac{a+c}{b+d} b+da+c 应该落在 a b \frac{a}{b} ba 和 c d \frac{c}{d} dc 之间。如果它们的大小关系满足一般规律，那么特例的结果就是可信的。

现在从数学的角度看看它们的关系。这里需要先做一些设定，规定一下 a b \frac{a}{b} ba 和 c d \frac{c}{d} dc 的大小关系。

如果 a b = c d \frac{a}{b}=\frac{c}{d} ba=dc，那么 a b = c d = a + c b + d \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d} ba=dc=b+da+c；除此之外，我们假定 a b > c d \frac{a}{b}>\frac{c}{d} ba>dc 。

下面我们从 a b \frac{a}{b} ba 出发做等量变换， a b = a + c b + b c a = a ( 1 + c a ) b ( 1 + c a ) \frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+\frac{bc}{a}}=\frac{a(1+\frac{c}{a})}{b(1+\frac{c}{a})} ba=b+abca+c=b(1+ac)a(1+ac)； a + c b + b c a \frac{a+c}{b+\frac{bc}{a}} b+abca+c 和 a + c b + d \frac{a+c}{b+d} b+da+c 的区别在于把分母中的 b c a \frac{bc}{a} abc 替换成了 d d d，换句话说，只要我们知道了 b c a \frac{bc}{a} abc 和 d d d 的大小关系，就可以知道 a b \frac{a}{b} ba 和 a + c b + d \frac{a+c}{b+d} b+da+c 的关系了。

由于前面我们规定 a b > c d \frac{a}{b}>\frac{c}{d} ba>dc，因此 d > b c a d>\frac{bc}{a} d>abc；

继而有 a + c b + d < a + c b + b c a = a b \frac{a+c}{b+d}<\frac{a+c}{b+\frac{bc}{a}}=\frac{a}{b} b+da+c<b+abca+c=ba，也就有了 a + c b + d < a b \frac{a+c}{b+d}<\frac{a}{b} b+da+c<ba；同理可得 a + c b + d > c d \frac{a+c}{b+d}>\frac{c}{d} b+da+c>dc ；

于是 a b > a + c b + d > b d \frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+d}>\frac{b}{d} ba>b+da+c>db 。

从另一个角度来看，如果我们要证 a b > a + c b + d \frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+d} ba>b+da+c，则需要证明 a b + a d > a b + b c ab+ad>ab+bc ab+ad>ab+bc，即需证 a d > b c ad>bc ad>bc，而这一点正是我们在假设中给出的条件。

从直观上来看， a b \frac{a}{b} ba 其实是一杯红墨水， b b b 是水的体积， a a a 是墨水的体积， a b \frac{a}{b} ba 就是把水和墨水混合，得到一杯稀释的墨水； c d \frac{c}{d} dc 也是一样。

那么 a + c b + d \frac{a+c}{b+d} b+da+c 代表的是什么呢？其实就是把 a b \frac{a}{b} ba 和 c d \frac{c}{d} dc 这两杯墨水倒进一个杯子里，混合起来。其结果必然是混合后的颜色介于两者之间，或者一样。

有时候生活的经验可以帮助我们做出判断，但是那并不是本质，只是表象。通过对现象的观察，能帮助我们理解和探寻本质，但是不要颠倒表象与本质。人类文明的发展也是不断通过表象探寻本质的过程，所谓万象之下，道行为本。