清奇思路（六）从1到n整数中1出现的次数

1.题目描述
2. 清奇思路：如何找数字规律判断每一位有几个“1”
- 2.1 举例子找规律
  - 2.1.1百位为例，百位上至少有多少个“1”
  - 2.1.2 如果X>1(即X为2~9)
  - 2.1.3 如果X==0
  - 2.1.4 如果X==1
- 2.2用公式写出来
- 2.3代码表示

1.题目描述

1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13，因此“1”共出现6次；

求出任意非负整数区间中1出现的次数。

首先需要说明的是：题目要求的是“1”的个数而不是含1的数字的个数，也就是说对于数字“11”，是有有两个“1”的。是要算两次的！！！！

2. 清奇思路：如何找数字规律判断每一位有几个“1”

牛客网该题目下咩咩jiang的回答由于没有图，字也挤在一起-_-||，原谅我第一次真的看不进去。
博客：yi_Afly的专栏中从1到n整数中1出现的次数图文并茂，讲解的很清楚，思路上和上面的大佬是相近的，建议先看yi_Afly的再回看咩咩jiang的，可能会稍稍好一些。

下面开始是我整理两位的发言，梳理的比较有逻辑一点。

2.1 举例子找规律

yi_Afly从个位开始讲解，但是最终仍然回归到一样的代码上去，因此本文这里先和咩咩jiang一样，以百位为例，说明如何计算，然后再说明为什么个位计算方法可以与百位的相同。

我们以数字          3 1 X 5 6                 为例  //X表示百位数字不定（0~9）均有可能

2.1.1百位为例，百位上至少有多少个“1”

我们用一个Round变量表示百位之前更高位所留存的数字。
那么，很明显可以知道，不管X是多少，在Round从0~30轮中，百位上有“1”的次数至少是31次，因为百位每一次出现“1”需要持续100次（100-199），因此百位上“1”的个数至少有 31∗100 31 ∗ 100 31*100。

这个100是由于百位本身的特性决定的，因此如果我们记X所在的位权重为Base，如下图所示：

那么，百位上“1”至少出现的次数就是： Round∗Base R o u n d ∗ B a s e Round*Base.

2.1.2 如果X>1(即X为2~9)

这里我们应该也知道，在第32轮，也就是Round为31的时候，只有31100 - 31199百位上会出现“1”。
所以如果 X>1 X > 1 X>1，那就是看 100−199 100 − 199 100-199有多少个“1”。因此，如果X>1，百位上“1”的个数有 31∗100+1∗100 31 ∗ 100 + 1 ∗ 100 31*100+1*100。

那么，此时百位上“1”出现的次数就是： (Round+1)∗Base ( R o u n d + 1 ) ∗ B a s e (Round+1)*Base.

2.1.3 如果X==0

在第32轮，也就是Round为31的时候，只有31100 - 31199百位上会出现“1”。所以，如果 X==0 X == 0 X==0，那就是看 31000−31056 31000 − 31056 31000-31056有多少个“1”。很明显没有。

那么，此时百位上“1”出现的次数就是： (Round)∗Base ( R o u n d ) ∗ B a s e (Round)*Base.

2.1.4 如果X==1

在第32轮，也就是Round为31的时候，只有31100 - 31199百位上会出现“1”。所以，如果 X==1 X == 1 X==1，那就是看 31100−31156 31100 − 31156 31100-31156有多少个“1”。取决于百位后面的数字是多少。
如果我们记百位后面的数字为Former，如图所示：

那么，此时百位上“1”出现的次数就是： (Round)∗Base+Former+1 ( R o u n d ) ∗ B a s e + F o r m e r + 1 (Round)*Base+Former+1.

2.2用公式写出来

1.Round=N/Base/10的商 1. R o u n d = N / B a s e / 10 的商

1. Round =N/Base/10的商

2.Former=N/Base的余数 2. F o r m e r = N / B a s e 的余数

2. Former =N/Base 的余数百位上“1”出现的次数就是：

Round+ϵ(X−1))∗Base+（Former+1）∗δ(X−1) R o u n d + ϵ ( X − 1 ) ) ∗ B a s e + （ F o r m e r + 1 ） ∗ δ ( X − 1 )

Round+\epsilon(X-1))* Base+（Former+1）*\delta(X-1)
其中， ϵ(X)是阶跃函数，δ(X)是冲激函数 ϵ ( X ) 是阶跃函数， δ ( X ) 是冲激函数 \epsilon(X)是阶跃函数，\delta(X)是冲激函数

2.3代码表示

int NumberofOnes(int n)
{int count = 0;long long base = 1;for(base =1;base<=n;base*=10){int Round =  n/base;int X = Round%10;Round/=10;int Former = n%base;count=count+(Round*base+(X>1)*base+(Former+1)*(X==1))}return count;
}

当然，根据上述思路还有一些其他的代码表示，也很精妙，但是我个人觉得不如我这个来的直观。

最后说一说为什么个位也可以用，因为个位的Former为0。不会影响到个位整体计算公式的。