一、问题

最近我继续攻克老师布置的作业，也是通过博客来记录一下自己的解决问题的过程，问题如下：

(1) 请推导出单径瑞利信道中的BPSK相干解调的理论误码率性能，并画出比特信噪比(EbN0)与误码率(SER)的关系曲线。

通过阅读与理解CSDN、相关书籍的资料，我基本理解了题目的理论误码率推导过程，下面是对于单径瑞利信道，采用BPSK调制以及相干解调的理论误比特率推导过程。

二、理论误码率推导过程

1）表示发送信号
我们设二进制相移键控BPSK中发射的两个信号波形分别表示为s1(t)=g(t),s2(t)=−g(t)s_1\left( t \right) =g\left( t \right) ,s_2\left( t \right) =-g\left( t \right)s1(t)=g(t),s2(t)=−g(t)。其中g(t)g\left( t \right)g(t)是在一个符号间隔TTT内非零的任意实信号脉冲，脉冲能量为ξg\xi _gξg。这两个发射信号是双极性信号，可由能量表示为s1(t)=ξg,s2(t)=−ξgs_1\left( t \right) =\sqrt{\xi _g},s_2\left( t \right) =-\sqrt{\xi _g}s1(t)=ξg,s2(t)=−ξg。两个信号点如图2.1所示。

图2.1: BPSK的两个信号点

2）表示接收信号
单径瑞利信道可视为平坦慢衰落信道，平坦衰落的信道会使发送信号s(t)s\left( t \right)s(t)发生乘性失真，而慢衰落信道则可将乘性失真过程在至少一个符号间隔 TTT内看作为一个常数的过程。因此我们假设两个信号是等概发送，若发送信号为s1(t)=g(t)s_1\left( t \right) =g\left( t \right)s1(t)=g(t)，则在一个符号间隔TTT内的等效低通接收信号为
r1(t)=αe−jϕs1(t)+z(t)(0≤t≤T)(2.1)r_1\left( t \right) =\alpha e^{-j\phi}s_1\left( t \right) +z\left( t \right) \ \left( 0\le t\le T \right) \tag{2.1} r1(t)=αe−jϕs1(t)+z(t) (0≤t≤T)(2.1)

其中，α\alphaα为信号衰减，ϕ\phiϕ是信号相移，z(t)z\left( t \right)z(t)为复高斯白噪声过程。
由于单径瑞利信道为慢衰落信道，其信道衰落足够慢，这样会使得相移ϕ\phiϕ能够从接收信号中无误差地估计出来。因此可以实现接收信号的理想相干检测，即相干解调。于是对于BPSK调制，可用一个匹配滤波器来处理接收信号。

3）计算固定衰减条件的条件误码率
对于慢衰落信道，即信号衰减α\alphaα固定，不随时间发生改变。那么由匹配滤波器的解调器得到的接收信号为
r=αs1+n=αξg+n(2.2)r=\alpha s_1+n=\alpha \sqrt{\xi _g}+n \tag{2.2} r=αs1+n=αξg+n(2.2)

其中nnn表示均值为0，噪声方差为σn2=N02\sigma _{n}^{2}=\frac{N_0}{2}σn2=2N0的加性高斯噪声分量。我们可以根据判决变量来确定误码率。将接收信号rrr与阈值0比较。若r>0r>0r>0则判决接收信号为s1(t)s_1\left( t \right)s1(t)。若r<0r<0r<0则判决为s2(t)s_2\left( t \right)s2(t)。因此接收信号rrr判决为s1(t),s2(t)s_1\left( t \right) ,s_2\left( t \right)s1(t),s2(t)的概率密度函数分别为
p(r∣s1)=−1πN0e−(r−αξg)2/N0(2.3)p\left( r\left| s_1 \right. \right) =-\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}e^{-\left( r-\alpha \sqrt{\xi _g} \right) ^2/N_0} \tag{2.3} p(r∣s1)=−πN01e−(r−αξg)2/N0(2.3)

p(r∣s2)=−1πN0e−(r+αξg)2/N0(2.4)p\left( r\left| s_2 \right. \right) =-\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}e^{-\left( r+\alpha \sqrt{\xi _g} \right) ^2/N_0} \tag{2.4} p(r∣s2)=−πN01e−(r+αξg)2/N0(2.4)

两个信号的判决的概率密度函数如图2.2所示。

图2.2: 判决的概率密度函数
在发送信号为 s1(t)=g(t)s_1\left( t \right) =g\left( t \right)s1(t)=g(t)的条件下，错误概率为 r<0r<0r<0的概率，即
p(e∣s1)=∫−∞0p(r∣s1)dr=−1πN0∫−∞0exp⁡[−(r−αξg)2/N0]dr=Q(2α2ξgN0)p\left( e\left| s_1 \right. \right) =\int_{-\infty}^0{p\left( r\left| s_1 \right. \right) dr} =-\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}\int_{-\infty}^0{\exp \left[ -\left( r-\alpha \sqrt{\xi _g} \right) ^2/N_0 \right] dr} =Q\left( \sqrt{\frac{2\alpha ^2\xi _g}{N_0}} \right) p(e∣s1)=∫−∞0p(r∣s1)dr=−πN01∫−∞0exp[−(r−αξg)2/N0]dr=Q⎝⎛N02α2ξg⎠⎞

其中Q(x)Q\left( x \right)Q(x)为Q函数，是用来表示高斯分布的概率密度函数尾部曲线下的面积，定义为Q(x)=12π∫x∞e−t2/2dt,x≥0Q\left( x \right) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_x^{\infty}{e^{-t^2/2}dt},x\ge 0Q(x)=2π1∫x∞e−t2/2dt,x≥0。
同样假设发送信号为s2(t)=−g(t),r=−αξg+ns_2\left( t \right) =-g\left( t \right) ,r=-\alpha \sqrt{\xi _g}+ns2(t)=−g(t),r=−αξg+n，其r>0r>0r>0的错误概率也为p(e∣s2)=Q(2α2ξgN0)p\left( e\left| s_2 \right. \right) =Q\left( \sqrt{\frac{2\alpha ^2\xi _g}{N_0}} \right)p(e∣s2)=Q(N02α2ξg)。因为s1(t),s2(t)s_1\left( t \right) ,s_2\left( t \right)s1(t),s2(t)是等概发送的，由全概率公式可得平均错误概率为
P2(γb)=p(s1)p(e∣s1)+p(s2)p(e∣s2)=12p(e∣s1)+12p(e∣s2)=Q(2α2ξgN0)=Q(2γb)P_2\left( \gamma _b \right) =p\left( s_1 \right) p\left( e\left| s_1 \right. \right) +p\left( s_2 \right) p\left( e\left| s_2 \right. \right) =\frac{1}{2}p\left( e\left| s_1 \right. \right) +\frac{1}{2}p\left( e\left| s_2 \right. \right) =Q\left( \sqrt{\frac{2\alpha ^2\xi _g}{N_0}} \right) =Q\left( \sqrt{2\gamma _b} \right) P2(γb)=p(s1)p(e∣s1)+p(s2)p(e∣s2)=21p(e∣s1)+21p(e∣s2)=Q⎝⎛N02α2ξg⎠⎞=Q(2γb)

其中γb=α2ξgN0\gamma _b=\frac{\alpha ^2\xi _g}{N_0}γb=N0α2ξg。上式P2(γb)P_2\left( \gamma _b \right)P2(γb)即为条件误比特率。

4）计算衰减变化的误比特率
上式得到的条件误比特率P2(γb)P_2\left( \gamma _b \right)P2(γb)的条件是信号衰减α\alphaα固定不变。为了得到信号衰减α\alphaα随机变化的误码率，需要将条件误比特率P2(γb)P_2\left( \gamma _b \right)P2(γb)对γb\gamma _bγb的概率密度函数求平均，即衰减变化的误比特率为
P2=∫0∞P2(γb)p(γb)dγb(2.5)P_2=\int_0^{\infty}{P_2\left( \gamma _b \right) p\left( \gamma _b \right) d\gamma _b} \tag{2.5} P2=∫0∞P2(γb)p(γb)dγb(2.5)

其中p(γb)p\left( \gamma _b \right)p(γb)是α\alphaα为随机变量γb\gamma _bγb时的概率密度函数。因为作为随机变量的信号衰减α\alphaα服从瑞利分布，所以α2\alpha ^2α2是自由度为2的χ2\chi ^2χ2分布，即α2∽χ2(2)\alpha ^2\backsim \chi ^2\left( 2 \right)α2∽χ2(2)。因此，γb\gamma _bγb也是χ2\chi ^2χ2分布，则其概率密度函数为
p(γb)=1γˉbe−γb/γˉb(2.6)p\left( \gamma _b \right) =\frac{1}{\bar{\gamma}_b}e^{-\gamma _b/\bar{\gamma}_b} \tag{2.6} p(γb)=γˉb1e−γb/γˉb(2.6)

其中γˉb\bar{\gamma}_bγˉb为平均信噪比，定义为γˉb=ξgN0E(α2)=2ξgN0\bar{\gamma}_b=\frac{\xi _g}{N_0}E\left( \alpha ^2 \right) =2\frac{\xi _g}{N_0}γˉb=N0ξgE(α2)=2N0ξg。其中E(α2)E\left( \alpha ^2 \right)E(α2)为α2\alpha ^2α2的均值，为2。
因此，将式(2.6)的γb\gamma _bγb的概率密度函数p(γb)p\left( \gamma _b \right)p(γb)代入衰减变化的误比特率公式(2.5)中，计算积分，即可得到误比特率为
P2=12(1−γˉb1+γˉb)=12(1−2ξgN01+2ξgN0)(2.7)P_2=\frac{1}{2}\left( 1-\sqrt{\frac{\bar{\gamma}_b}{1+\bar{\gamma}_b}} \right) =\frac{1}{2}\left( 1-\sqrt{\frac{2\frac{\xi _g}{N_0}}{1+2\frac{\xi _g}{N_0}}} \right) \tag{2.7} P2=21(1−1+γˉbγˉb)=21⎝⎛1−1+2N0ξg2N0ξg⎠⎞(2.7)

定义比特信噪比为BSNR=2ξgN0BSNR=2\frac{\xi _g}{N_0}BSNR=2N0ξg。因此式(2.7)的误比特率可进一步用比特信噪比表示为
P2=12(1−BSNR1+BSNR)(2.8)P_2=\frac{1}{2}\left( 1-\sqrt{\frac{BSNR}{1+BSNR}} \right) \tag{2.8} P2=21(1−1+BSNRBSNR)(2.8)

式(2.8)即为在单径瑞利信道中使用BPSK相干解调的理论误比特率。需要注意的是，在推导过程中，我们是假定在慢衰落信道中得到的相移估计值是无噪的，而这种理想条件在实际中并不成立。

三、使用MATLAB绘制理论误码率曲线

首先MATLAB软件自带有绘制误比特率曲线的工具，即bertool工具。我们先使用bertool工具来绘制理论误比特率曲线，设置比特信噪比(Eb/N0)范围为-30到30dB，信道选用单径瑞利信道，调制类型选用BPSK，并使用相干解调，设置如图3.1所示：

图3.1: bertool工具的参数设置

使用bertool工具绘制出的理论误比特率曲线如图3.2所示，可以得出随着比特信噪比的增加，使用BPSK相干解调的理论误比特率逐渐减小。在比特信噪比为10dB时误比特率约为0.02327。

图3.2: 使用bertool工具绘制出的理论误码率曲线

接着我根据推导出的单径瑞利信道中的使用BPSK相干解调的理论误比特率公式，即式(2.8)，使用MATLAB编写代码来实现理论误比特率曲线的绘制。使用推导出的公式得出的理论误比特率曲线如图3.3所示。

图3.3: 使用推导出的公式得出的理论误码率曲线

根据图形也可以得出随着比特信噪比的增加，理论误码率在逐渐减小，当比特信噪比为10dB时误码率约为0.02327，该数值基本与使用bertool工具绘制出的理论误码率相同。

四、总结

谢谢大家看到这里！这次的作业时隔将近一个月才写好，期间主要在搞其他任务，哈哈不过总算是写完一半了，这次主要是通过看经典书籍来消化知识的，对于第二问的信道估计也快解决了，应该很快就能做出来，还请读者们多多指教，谢谢！世上无难事，只要肯登攀。加油！

这里是本文的参考文献：
[1]:数字通信（第四版）
[2]:单径瑞利信道中的BPSK相干解调的（理论）误码率性能
[3]:MATLAB的bertool绘制误码率理论值与仿真值对比曲线
[4]:dB的换算

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单径瑞利信道的BPSK相干解调的理论误码率推导与MATLAB分析(1)

目录

一、问题

二、理论误码率推导过程

三、使用MATLAB绘制理论误码率曲线

四、总结

单径瑞利信道的BPSK相干解调的理论误码率推导与MATLAB分析(1)相关推荐

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