电磁仿真原理——4. 矩量法(Moment Methods)
目录
- 矩量法介绍
- 矩量法的经典例子
- 矩量法一般情况
- 常见的积分方程
- 格林函数
- 泊松方程
- 亥姆霍兹方程
- 矩量法的应用
- 带状传输线的特征阻抗
矩量法介绍
矩量法的经典例子
- 如下图所示是带有电荷的一段有限直导线,导线上的电荷分布是不均匀的(因为电荷存在同性互斥的作用,导致两端电荷密度大,中间电荷密度小),空间中任一点电位定义为Φe (r ),r为场点的位置,而r,定义为源点。
- 将其分割成很多小区域,每一段的长度为Δx,那么原有的源点与场点的距离可表示为如下(为了分析简单,忽略z轴方向):
- 定义一个近似的解:首先假定电荷的密度在每一小段Δx上是均匀的,那么可以将电荷密度定义为脉冲函数的累加:
- un(x)是基函数,在变分法的介绍中,我们定义的是全域的基函数,但是全域的基函数不好找(满足完备和边界两个条件),而且对于通用的算法的时候,我们是没有办法知道需要计算什么模型的,不能保证这个基函数适用于所有模型。
所以我们需要定义一个子域的基函数,例如上述的例子,将其划分为不同的区域,每个区域中的边界条件,和场量变化是相对简单的。但这个基函数只适用于这个子域。
- 定义电位为1(导线内部和外部电位是相等的),对公式进行变形,利用了脉冲函数的特性将累加符号移到外部:
- 其中为了处理奇异点的问题(分母有可能为0),如果源点和场点位于不同的子段的时候分母肯定不为0,但是如果源点和场点位于同一个子段,则存在为0的情况,将半径固定为a,场点固定在导体表面,则距离改写为:
- 将累加符号展开,然后因为脉冲函数的定义,所以积分项会有变化,方程左边是精确解,方程右边是近似解,两个一减就是残差。有了残差以后,再选择加权函数与其内积,另加权函数内积为0(也就是余数R=0),那么就可以让近似解与精确解尽可能的相同了。
- 如果选择加权函数为(点匹配法)函数
- 得到矩阵如下,其中Zmn对应就是对应的积分项,我们可以对比一下之前加权余数法的矩阵**Amn**就很清楚了,在矩量法这里依然是<wm,Lun>,加权函数也是一样,只不过是我们的算子不同,un不同。算子变成了积分算子,un是子域内作用,而不是全域的。
- 可以对比一下
- 近似来实现,
矩量法一般情况
上述是矩量法应用的简单例子,为了让大家更好理解,是对于特定的模型举例介绍的,这里将介绍矩量法更一般的情况下应该如何来做。
金属的带电导体产生的的电位可以表示成如下的形式:
其中关于格林函数G(r,r,)详细解释可以参考电磁场理论——3.4 格林函数及其解,这里简单的解释一下它的含义,对于点源(r,) 在空间中某点(r)的响应为G(r,r,),像上述矩量法经典例子(静电场)中的格林函数就可以表示成如下形式:
如果响应位于金属表面,则其电位必须为常数,电位写成Φ,然后可以表示成:
ρs(r,)为电荷密度,这个是未知的,是待求的,这里需要注意之前变分法的介绍中Φ这个符号通常是表示近似解,它是待求量,这里表示一个电位,是确定值,相当于变分法介绍中的源(g)。
接着定义一个局域的基函数来表示ρs(r,)的近似解:
将其回代到Φ的公式中,将积分符号移到求和符号内得到:
选择一组加权函数与积分方程的内积(即之前介绍过的加权余数法)
将上述内积展开得到:
这里关键还是关于加权函数怎么选取,选取不同函数代表着不同方法(点匹配法、伽辽金法、子域法、最小二乘法)
实际上对于,这里积分符号较多,如果单纯应用点匹配法的话计算起来会简单一些。
将上述的积分公式写成紧凑的格式如下:
常见的积分方程
一般有两大类:
- 第一大类是Fredholm equations,它又可以分成三种积分方程:
因为是对t进行积分,所以积分后得到的是f关于x的函数;后面的两种积分方程前面的一项表示边界条件。其中K(x,t)是积分方程中的核函数,对应电磁问题中就是上面我们介绍的格林函数。Φ(t)就是我们的待求量;注意,很多情况下,核函数变换其实是很剧烈的,积分的作用就是起到了平滑的作用,另外Fredholm积分方程中普遍会有一个问题,就是我们之前提到的奇异点的问题(在我们上面讲的经典例子中,也有处理这个奇异点的步骤)
那么如果积分的边界处(a,b)有一个是未知的话,则表示成第二种积分方程: - 第二大类是Volterra equations
这类积分方程在电磁问题种很少使用到,所以不过多讨论。
如何将微分方程和积分方程联立起来
如下所示, 为一阶的微分方程,Φ(a) = constant(满足狄利克雷边界条件)
若要求出(a,b)之间任意一点的电位Φ,将微分方程左右都进行积分,就可以把它写成Volterra积分方程如下:
相似的,如果是一个二阶的微分方程的情况下,只要将方程左右做两次积分就可以了:
第一次积分,Φ,(a)是纽曼边界条件;第二次积分需要在第一次积分的基础上利用分部积分得到:
格林函数
格林函数可以这么理解:看成是一个单位电量的点电荷在一个场点处产生的电位;
对于不同的问题,格林函数的形式有所不同:
- Dirichlet problem:(狄利克雷问题)实际上也是一个泊松方程
上面R代表Φ的取值空间,B是指的R的边界,所以第二个方程代表边界条件
这里直接给出Φ的积分形式:(利用分部积分得到)
1、格林函数的物理意义:对于一个线性的二阶偏微分方程:LΦ = g;可以看成点电荷(g)产生的响应(Φ),所以将g换成点电荷δ(r,r,),然后得到的响应电位Φ就是格林函数了;
对格林函数进行积分后得到场点处的点电荷
2、格林函数的性质:
(1)由于Dirichlet函数的性质可知,除了点电荷的位置以外,其他任何一点代入这个算子方程中都会得到LG(r,r,)=0,也就是说在r = r,处LG才不等于0,而在r为其他取值的时候,LG都是等于0的。
(2)因为格林函数是点电荷的响应,而点电荷本身就是满足对称性的,也就是说把点电荷从源点的位置A放到了场点的位置B,那么B在A处的格林函数和原来A在B处的格林函数值是相同的。
(3)格林函数要满足边界条件;
(4)应用散度定理可以得到如下性质,格林函数在源点处即e趋于0的时候(e = r-r,),它的偏导数是不连续的(格林函数的方向导数的面积分是等于1的)
- 对于Dirichlet边界条件下格林函数的形式:
假定格林函数有两个函数来构成,因为我们要考虑边界的情况;
F定义为自由空间的格林函数,或者称为基础解,F在整个域内都满足如下公式:
U满足在整个域的空间内LU = 0的
还有一个问题就是边值问题:G = F + U满足:
而G = f在边界处B需要满足:
F表示F(r,r,)在边界处的值,f是已知的边值条件
举例:
- 拉普拉斯算子(二维问题)
- 亥姆霍兹方程算子(三维问题)
泊松方程
亥姆霍兹方程
矩量法的应用
带状传输线的特征阻抗
表面电荷密度ρ(x,y)
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