SG函数SG定理游戏的和公平组合游戏

公平组合游戏（Impartial Combinatorial Games）

条件：

1.两名选手交替进行操作

2.两名选手局面移动的权力相同

3.当前选手的合法移动集合至于当前的局面有关，与轮到哪名选手操作、以前的任何操作、骰子的点数或者其它什么因素无关

4.如果当前选手的合法移动集合为空，则判此选手负

用状态图来理解就是:将一个游戏中的所有可能出现的状态看作是图的节点，如果一个状态可以一步转移到另一个状态，则这两个状态之间有一条有向边，设初始棋子在任意一节点上，通过有向边两名选手交替移动棋子，直至棋子不能再被移动结束。

例如：n=6，m=3的巴什博弈状态图如下：

以下讨论的是游戏的状态图为有向无环图的情况，即不存在平局

必胜点和必败点的概念：

P点：必败点，换而言之，就是谁处于此位置，则在双方操作正确的情况下必败。

N点：必胜点，同上

性质：

1.P点的所有后继点都是N点

2.N点得后继点中存在P点

3.终结点一定是P点

SG函数：（针对解决公平组合游戏，不存在平局，即无环）

对于任意状态x，

SG(x)=mex{ SG(y) | y为x的所有后继状态 }

如果知道一个状态的SG值，我们就可以快速判断出它是P点还是N点

如果SG值等于0，那么是P点，否则是N

证明上述结论的链接：https://blog.csdn.net/philipsweng/article/details/48395375

游戏的和：

我们可以定义有向无环图游戏的和(Sum of Graph Games)：设G1、G2、……、Gn是n个有向图游戏，定义游戏G是G1、G2、……、Gn的和(Sum)，游戏G的移动规则是：任选一个子游戏Gi 并移动上面的棋子。

SG定理：

SG(G)=SG(G1)^SG(G2)^…^SG(Gn)

即游戏的和的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。

证明上述结论的链接：https://blog.csdn.net/philipsweng/article/details/48395375

应用：

运用游戏的和，SG函数，SG定理我们可以将一个游戏分解为若干子游戏，分别求解若干子游戏的SG函数值，再将它们异或起来，得到总游戏的SG值。例如下面这个例子：

n堆石子，每次可以从第1堆石子里取1颗、2颗或3颗，可以从第2堆石子里取奇数颗，可以从第3堆及以后石子里取任意颗…… 我们可以把它看作3个子游戏，第1个子游戏只有一堆石子，每次可以取1、2、3颗，很容易看出x颗石子的局面的SG值是x%4。第2个子游戏也是只有一堆石子，每次可以取奇数颗，经过简单的画图可以知道这个游戏有x颗石子时的SG值是x%2。第3个游戏有n-2堆石子，就是一个nim游戏。对于原游戏的每个局面，把三个子游戏的SG值异或一下就得到了整个游戏的SG值。

经典题：

poj1848

 #include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define maxn 1010#define N 20int S[maxn];int SG[maxn];int f[N];void getSG(){memset(SG,0,sizeof SG);for(int i=1;i<=maxn;i++){memset(S,0,sizeof S);for(int j=0;f[j]<=i&&j<=N;j++)S[SG[i-f[j]]]=1;for(int j=0;;j++){if(!S[j]){SG[i]=j;break;}}}return;}int main(){int m,n,p;f[0]=1;f[1]=1;for(int i=2;i<=20;i++){f[i]=f[i-1]+f[i-2];}getSG();while(scanf("%d%d%d",&m,&n,&p),m||n||p){if(SG[m]^SG[n]^SG[p])printf("Fibo\n");elseprintf("Nacci\n");}return 0;}