3.5 基，维数与坐标

\quad 本节，继续研究线性空间的结构。一般地，设 V V V 是数域 K K K 上的一个线性空间。

\quad 首先，我们先将“线性相关”与“线性无关”的概念由“有限”向“无限”推广。

对比其它高等代数教程，邱老师在这一节非常巧妙的将“有限维”与“无限维”统一在了一起！

定义 1. 线性空间子集的线性相关与线性无关：
（1） V V V 的一个有限子集 { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} {α1,α2,⋯,αs} 线性相关 : ⟺ :\Longleftrightarrow :⟺ 向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,α2,⋯,αs 线性相关；
（2） V V V 的一个有限子集 { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} {α1,α2,⋯,αs} 线性无关 : ⟺ :\Longleftrightarrow :⟺ 向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,α2,⋯,αs 线性无关；
（3） V V V 的一个无限子集 S S S 线性相关 : ⟺ :\Longleftrightarrow :⟺ 存在 S S S 的一个有限子集线性相关；
（4） V V V 的一个无限子集 S S S 线性无关 : ⟺ :\Longleftrightarrow :⟺ S S S 的任一个有限子集都线性无关。

例 1：平面 π \pi π 上的任意两个不共面的向量可成为该平面的一个基。

定义 2. 极大线性无关集与基：设 V V V 是数域 K K K 上的一个线性空间。 V V V 的一个子集 S S S 如果满足：
（1） S S S 是线性无关的；
（2）对于 ∀ β ∈ V \ S \forall ~ \boldsymbol{\beta} \in V \backslash S ∀ β∈V\S（如果还有的话），有 S ∪ { β } S \cup \{\boldsymbol{\beta}\} S∪{β} 线性相关，
则称 S S S 为 V V V 的一个极大线性无关集。

\quad 可以看到，“极大线性无关集”的概念以及与“基”相近了，不过我们需要排除一些意外情况，比如 V = { 0 } V =\{\boldsymbol{0}\} V={0}.

\quad 由前一节的讨论，我们知道 { 0 } \{\boldsymbol{0}\} {0} 是线性相关的，因此，若 V ≠ { 0 } V \ne \{\boldsymbol{0}\} V={0}，则称 V V V 的一个极大线性无关集为 V V V 的一个基。

\quad 如果将上述定义推广到 V = { 0 } V =\{\boldsymbol{0}\} V={0} 的情形，则需要做一些规定：空集 ϕ \phi ϕ 是线性无关的。之后再进行分析：若 V = { 0 } V =\{\boldsymbol{0}\} V={0}，由于
（1） ϕ \phi ϕ 是线性无关的；
（2）对于 0 ∈ V \ ϕ \boldsymbol{0} \in V \backslash \phi 0∈V\ϕ，有 ϕ ∪ { 0 } = { 0 } \phi \cup \{\boldsymbol{0}\} = \{\boldsymbol{0}\} ϕ∪{0}={0} 线性相关，
由 定义 2， ϕ \phi ϕ 是 { 0 } \{\boldsymbol{0}\} {0} 的一个极大线性无关集，此时，我们称 ϕ \phi ϕ 是 V V V 的一个基。

简单来讲，若规定“空集是线性无关的”，则线性空间的一个极大线性无关集，就是其的一个基。

定义 2 是合理的，但我们一般不会采用这个定义，因为这个定义比较抽象，不太直观。

定义 3. 基：设 V V V 是数域 K K K 上的一个线性空间。 V V V 的一个子集 S S S 若满足：
（1） S S S 是线性无关的；
（2） V V V 中的任一向量可由 S S S 中的有限多个向量线性表出，
则称 S S S 是 V V V 的一个基。

\quad 另外，
（1）若 S = { α 1 , α 2 , ⋯ , α r } S = \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{r}\} S={α1,α2,⋯,αr}（即 S S S 为有限集），也称向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α r \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{r} α1,α2,⋯,αr 是 V V V 的一个（有序）基；
（2）规定： ϕ \phi ϕ 是线性无关的；
（3）规定：线性空间 { 0 } \{\boldsymbol{0}\} {0} 的一个基是 ϕ \phi ϕ。

\quad 相较于定义 2，在定义 3 的基础上，只能规定"线性空间 { 0 } \{\boldsymbol{0}\} {0} 的一个基是 ϕ \phi ϕ"，而由定义 2 是可以直接推出的。

\quad 现在思考一个问题：是否任一个线性空间都有基？答案是肯定的，详情请参见 高等代数——大学创新教材（下册） P 158 ∼ P 159 P_{158}\sim P_{159} P158∼P159。

定义 4. 有限维与无限维：
（1）若 V V V 有一个基是 V V V 的有限子集，则称 V V V 是有限维的；
（2）若 V V V 有一个基是 V V V 的无限子集，则称 V V V 是无限维的。

定理 1：若 V V V 是有限维的，则 V V V 的任意两个基所含个数相等。

证明：

\quad 一般地，设向量组 { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} {α1,α2,⋯,αn} 是 V V V 的一个基，任取 V V V 的另一个基 S S S，

（1）若 S S S 所含的向量个数 > n >n >n，则在 S S S 中至少可取 n + 1 n+1 n+1 个向量 β 1 , β 2 , ⋯ , β n + 1 \boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n+1} β1,β2,⋯,βn+1。显然，向量组 { β 1 , β 2 , ⋯ , β n + 1 } \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n+1}\} {β1,β2,⋯,βn+1} 可由向量组 { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} {α1,α2,⋯,αs} 线性表出，由于 n + 1 > n n+1>n n+1>n，因此 β 1 , β 2 , ⋯ , β n + 1 \boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n+1} β1,β2,⋯,βn+1 线性相关，从而产生矛盾。

（2）设 S S S 中所含向量的个数 ≤ n \le n ≤n，不妨设为 m m m。显然有

{ α 1 , α 2 , ⋯ , α n } ≅ { β 1 , β 2 , ⋯ , β m } , \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} \cong \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{m}\}, {α1,α2,⋯,αn}≅{β1,β2,⋯,βm},

等价的线性无关的向量组所含向量的个数相等，因此 m = n m=n m=n.

推论：若 V V V 是无限维的，则 V V V 的任意一个基都是无限维的。

定义 5. 维数：
（1）若 V V V 是有限维的，则称 V V V 的一个基所含向量的个数为 V V V 的维数。记作： dim ⁡ V \dim V dimV。
（2）若 V V V 是无限维的，则将 V V V 的维数记作 dim ⁡ V = ∞ \dim V = \infty dimV=∞。
（3）若 V = { 0 } V = \{\boldsymbol{0}\} V={0}，则 dim ⁡ V = 0 \dim V = 0 dimV=0。

命题 1：设 V V V 是 n n n 维的，则 V V V 中任意 n + 1 n+1 n+1 个向量都线性相关。

命题 2：设 dim ⁡ V = n \dim V = n dimV=n， S = { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } S = \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} S={α1,α2,⋯,αn} 是 V V V 的一个基，则 V V V 中任一向量 α = a 1 α 1 + ⋯ + a n α n \boldsymbol{\alpha} = a_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+\cdots + a_{n} \boldsymbol{\alpha}_{n} α=a1α1+⋯+anαn 的表出方式唯一。

定义 6. 坐标：设 dim ⁡ V = n \dim V = n dimV=n， { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} {α1,α2,⋯,αn} 是 V V V 的一个基，向量 α = a 1 α 1 + ⋯ + a n α n ∈ V \boldsymbol{\alpha} = a_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+\cdots + a_{n} \boldsymbol{\alpha}_{n} \in V α=a1α1+⋯+anαn∈V，则称 α \boldsymbol{\alpha} α 的坐标为：
( a 1 a 2 ⋮ a n ) \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{a}_1\\ \boldsymbol{a}_2\\ \vdots\\ \boldsymbol{a}_n\\ \end{array} \right) a1a2⋮an

命题 3：设 dim ⁡ V = n \dim V = n dimV=n，则 V V V 中任意 n n n 个线性无关的向量都是 V V V 的一个基。

命题 4：设 dim ⁡ V = n \dim V = n dimV=n，若 V V V 中任一向量可由向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,⋯,αn 线性表出，则集合 { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} {α1,α2,⋯,αn} 是 V V V 的一个基。

命题 5：设 dim ⁡ V = n \dim V = n dimV=n，则 V V V 的任意一个线性无关的向量组都能扩充成 V V V 的一个基。

命题 6：设 dim ⁡ V = n \dim V = n dimV=n， W W W 是 V V V 的一个子空间，则 dim ⁡ W ≤ dim ⁡ V \dim W \le \dim V dimW≤dimV。

命题 7：向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,⋯,αn 的一个极大线性无关组是 < α 1 , α 2 , ⋯ , α n > <\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}> <α1,α2,⋯,αn> 的一个基。

命题 8：关于向量组的生成子空间，我们有：
( < α 1 , α 2 , ⋯ , α s > = < β 1 , β 2 , ⋯ , β t > ) ⟺ ( { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } ≅ { β 1 , β 2 , ⋯ , β t } ) \left( <\boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots ,\boldsymbol{\alpha }_s>=<\boldsymbol{\beta }_1,\boldsymbol{\beta }_2,\cdots ,\boldsymbol{\beta }_t> \right) \,\,\Longleftrightarrow \left( \left\{ \boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots ,\boldsymbol{\alpha }_s \right\} \cong \left\{ \boldsymbol{\beta }_1,\boldsymbol{\beta }_2,\cdots ,\boldsymbol{\beta }_t \right\} \right) (<α1,α2,⋯,αs>=<β1,β2,⋯,βt>)⟺({α1,α2,⋯,αs}≅{β1,β2,⋯,βt})

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