Hash（哈希）选做

2024-05-18 21:39:37

洛谷 P3501 [POI2010]ANT-Antisymmetry

由题意得，“反对称”字符串长度一定为偶数。

原串正着 Hash，取反后的串倒着 Hash，然后枚举中间点，二分长度。

洛谷 P2852 [USACO06DEC]Milk Patterns G

显然答案具有单调性，二分最大长度，Hash + 排序 O ( n log ⁡ n ) O(n \log n) O(nlogn) 算出现次数。

时间复杂度 O ( n log ⁡ 2 n ) O(n \log^2 n) O(nlog2n)。

洛谷 P2757 [国家集训队]等差子序列

L e n ≥ 3 Len\geq3 Len≥3，所以只需找到 L e n = 3 Len=3 Len=3 的等差子序列即可。枚举中项，对于每一个 A i A_i Ai 判断是否存在 A i + k A_i+k Ai+k 和 A i − k A_i-k Ai−k 在 A i A_i Ai 的异侧。

建立一个长为 N N N 的序列 X X X，初始全为 0 0 0，从左到右扫一遍 { A i } \{A_i\} {Ai}，每次将 X A i X_{A_i} XAi 设为 1 1 1，那么如果不存在 A i + k A_i+k Ai+k 和 A i − k A_i-k Ai−k 在 A i A_i Ai 的异侧，意味着所有的 A i + k A_i+k Ai+k 和 A i − k A_i-k Ai−k 已经被加入到 X X X 中，那么此时以 X A i X_{A_i} XAi 为中点，两端不超过边界的 X X X 的子串（必定是前缀或后缀）一定为回文串。

回文串可以使用 Hash 判断，因为 Hash 也算序列问题，所以考虑用线段树维护序列 X X X 的 Hash。

洛谷 P8023 [ONTAK2015] Tasowanie

直接归并会出现的问题是，因为序列不是有序的，所以无法处理两序列当前位置的值相同的情况。

先考虑如何暴力解决这个问题，如果 a i = b j a_i=b_j ai=bj，则判断 a i + 1 a_{i+1} ai+1 是否等于 b j + 1 b_{j+1} bj+1 ，如果不相等，则取小的一列更优，如果相等，则继续判断 a i + 2 a_{i+2} ai+2 与 b j + 2 b_{j+2} bj+2 是否相等，以此类推。

暴力的时间复杂度直接挂到了 O ( ( n + m ) 2 ) O((n+m)^2) O((n+m)2)，问题在于暴力判断 a i a_i ai 与 b j b_j bj 之后相等的值。考虑二分其后值相等的序列长度，Hash 判断序列是否相等，则复杂度优化到 O ( ( n + m ) log ⁡ ( n + m ) ) O((n+m)\log(n+m)) O((n+m)log(n+m))。

洛谷 P2601 [ZJOI2009]对称的正方形

经典题，二维回文。

与一维回文类比，使用二维 Hash，算三个 Hash 判断上下和左右对称，枚举中间点并二分正方形边长。

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