20. 偏微分方程的数值解

定解问题

各种物理性质的定常过程都可用椭圆型方程描述
Δu=∂2u∂x2+∂2u∂y2=f(x,y),\Delta u=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=f(x,y), Δu=∂x2∂2u+∂y2∂2u=f(x,y),
当 f(x,y)=0f(x,y)=0f(x,y)=0 时，即拉普拉斯方程
Δu=∂2u∂x2+∂2u∂y2=0.\Delta u=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0. Δu=∂x2∂2u+∂y2∂2u=0.
第一边值问题
{∂2u∂x2+∂2u∂y2=f(x,y),(x,y)∈Ω,u(x,y)∣(x,y)∈Γ=φ(x,y),Γ=∂Ω.\left\{\begin{aligned} &\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=f(x,y),(x,y)\in\Omega,\\ &u(x,y)|_{(x,y)\in\Gamma}=\varphi(x,y),\Gamma=\partial\Omega. \end{aligned}\right. ⎩⎪⎨⎪⎧∂x2∂2u+∂y2∂2u=f(x,y),(x,y)∈Ω,u(x,y)∣(x,y)∈Γ=φ(x,y),Γ=∂Ω.
其中 Ω\OmegaΩ 为以 Γ\GammaΓ 为边界的有界区域，Γ\GammaΓ 为分段光滑曲线，Ω∪Γ\Omega\cup\GammaΩ∪Γ 称定解区域，f(x,y),φ(x,y)f(x,y),\varphi(x,y)f(x,y),φ(x,y) 分别为 Ω,Γ\Omega,\GammaΩ,Γ 上的已知连续函数。

差分解法

椭圆型

考虑第一边值问题
{∂2u∂x2+∂2u∂y2=f(x,y),(x,y)∈Ω,u(x,y)∣(x,y)∈Γ=φ(x,y),Γ=∂Ω.\left\{\begin{aligned} &\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=f(x,y),(x,y)\in\Omega,\\ &u(x,y)|_{(x,y)\in\Gamma}=\varphi(x,y),\Gamma=\partial\Omega. \end{aligned}\right. ⎩⎪⎨⎪⎧∂x2∂2u+∂y2∂2u=f(x,y),(x,y)∈Ω,u(x,y)∣(x,y)∈Γ=φ(x,y),Γ=∂Ω.
取 h,τh,\tauh,τ 分别为 x,yx,yx,y 方向的步长，记
(k,j)=(xk,yj),u(k,j)=u(xk,yj),fk,j=f(xk,yj),(k,j)=(x_k,y_j),u(k,j)=u(x_k,y_j),f_{k,j}=f(x_k,y_j), (k,j)=(xk,yj),u(k,j)=u(xk,yj),fk,j=f(xk,yj),
则由二阶差商公式
∂2u∂x2∣k,j=u(k+1,j)−2u(k,j)+u(k−1,j)h2+O(h2),\frac{\partial^2u}{\partial x^2}|_{k,j}=\frac{u(k+1,j)-2u(k,j)+u(k-1,j)}{h^2}+O(h^2), ∂x2∂2u∣k,j=h2u(k+1,j)−2u(k,j)+u(k−1,j)+O(h2),

∂2u∂y2∣k,j=u(k,j+1)−2u(k,j)+u(k,j−1)τ2+O(τ2)\frac{\partial^2u}{\partial y^2}|_{k,j}=\frac{u(k,j+1)-2u(k,j)+u(k,j-1)}{\tau^2}+O(\tau^2) ∂y2∂2u∣k,j=τ2u(k,j+1)−2u(k,j)+u(k,j−1)+O(τ2)

于是有
u(k+1,j)−2u(k,j)+u(k−1,j)h2\frac{u(k+1,j)-2u(k,j)+u(k-1,j)}{h^2} h2u(k+1,j)−2u(k,j)+u(k−1,j)

+u(k,j+1)−2u(k,j)+u(k,j−1)τ2+\frac{u(k,j+1)-2u(k,j)+u(k,j-1)}{\tau^2} +τ2u(k,j+1)−2u(k,j)+u(k,j−1)

=fk,j+O(h2+τ2).=f_{k,j}+O(h^2+\tau^2). =fk,j+O(h2+τ2).

略去 O(h2+τ2)O(h^2+\tau^2)O(h2+τ2) 得近似的差分方程
uk+1,j−2uk,j+uk−1,jh2+uk,j+1−2uk,j+uk,j−1τ2=fk,j.\frac{u_{k+1,j}-2u_{k,j}+u_{k-1,j}}{h^2}+\frac{u_{k,j+1}-2u_{k,j}+u_{k,j-1}}{\tau^2}=f_{k,j}. h2uk+1,j−2uk,j+uk−1,j+τ2uk,j+1−2uk,j+uk,j−1=fk,j.
称五点菱形格式。

实际计算时常取 h=τh=\tauh=τ，得
1h2(uk+1,j+uk−1,j+uk,j+1+uk,j−1−4uk,j)=fk,j,\frac{1}{h^2}(u_{k+1,j}+u_{k-1,j}+u_{k,j+1}+u_{k,j-1}-4u_{k,j})=f_{k,j}, h21(uk+1,j+uk−1,j+uk,j+1+uk,j−1−4uk,j)=fk,j,
记
1h2♢uk,j=fk,j,\frac{1}{h^2}\diamondsuit u_{k,j}=f_{k,j}, h21♢uk,j=fk,j,
其中
♢uk,j=uk+1,j+uk−1,j+uk,j+1+uk,j−1−4uk,j.\diamondsuit u_{k,j}=u_{k+1,j}+u_{k-1,j}+u_{k,j+1}+u_{k,j-1}-4u_{k,j}. ♢uk,j=uk+1,j+uk−1,j+uk,j+1+uk,j−1−4uk,j.

双曲型

考虑
∂2u∂t2=a2∂2u∂x2.\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}. ∂t2∂2u=a2∂x2∂2u.
令 v1=∂u∂t,v2=∂u∂xv_1=\frac{\partial u}{\partial t},v_2=\frac{\partial u}{\partial x}v1=∂t∂u,v2=∂x∂u，则有
{∂v1∂t=a2∂v2∂x,∂v2∂t=a2∂v1∂x.\left\{\begin{aligned} &\frac{\partial v_1}{\partial t}=a^2\frac{\partial v_2}{\partial x},\\ &\frac{\partial v_2}{\partial t}=a^2\frac{\partial v_1}{\partial x}. \end{aligned}\right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧∂t∂v1=a2∂x∂v2,∂t∂v2=a2∂x∂v1.
记 v=(v1,v2)Tv=(v_1,v_2)^Tv=(v1,v2)T，则有
∂v∂t=(0a210)∂v∂x=A∂v∂x.\frac{\partial v}{\partial t}=\begin{pmatrix} 0&a^2\\ 1&0 \end{pmatrix}\frac{\partial v}{\partial x}=A\frac{\partial v}{\partial x}. ∂t∂v=(01a20)∂x∂v=A∂x∂v.
存在矩阵 PPP，使得
PAP−1=(a00−a)=Λ.PAP^{-1}=\begin{pmatrix} a&0\\ 0&-a \end{pmatrix}=\Lambda. PAP−1=(a00−a)=Λ.
作变换 w=Pv=(w1,w2)Tw=Pv=(w_1,w_2)^Tw=Pv=(w1,w2)T，则有
∂w∂t=Λ∂w∂x.\frac{\partial w}{\partial t}=\Lambda\frac{\partial w}{\partial x}. ∂t∂w=Λ∂x∂w.
而对于一阶双曲型方程，取 x,tx,tx,t 方向步长分别为 h,τh,\tauh,τ，则有
uk,j+1−uk,jτ+auk+1,j−uk,jh=0,\frac{u_{k,j+1}-u_{k,j}}{\tau}+a\frac{u_{k+1,j}-u_{k,j}}{h}=0, τuk,j+1−uk,j+ahuk+1,j−uk,j=0,

uk,j+1−uk,jτ+auk,j−uk−1,jh=0,\frac{u_{k,j+1}-u_{k,j}}{\tau}+a\frac{u_{k,j}-u_{k-1,j}}{h}=0, τuk,j+1−uk,j+ahuk,j−uk−1,j=0,

uk,j+1−uk,jτ+auk+1,j−uk−1,j2h=0.\frac{u_{k,j+1}-u_{k,j}}{\tau}+a\frac{u_{k+1,j}-u_{k-1,j}}{2h}=0. τuk,j+1−uk,j+a2huk+1,j−uk−1,j=0.

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