百度之星astar-413-problem1

做这道题花了很多时间，所以没有长期的训练，想要在短时间内解决这种题目还是有一定的难度。

du熊的机器人

Description

du熊正在玩一个别人刚送给它的机器人。这个机器人只能在一个棋盘中行走，棋盘的左上角格子为(0, 0)，右下角格子为(X, Y)。

du熊控制这个机器人从棋盘的左上角，走到右下角，再从右下角回到左上角。当机器人从左上角走到右下角的过程中，如果它当前所在格子为(x, y)，则它只能走到(x+1, y)或(x, y+1)的格子；当机器人从右下角走回左上角的过程中，如果它当前所在的格子为(x, y)，则它只能走到(x-1, y)或(x, y-1)的格子。并且du熊要求机器人从左上角走到右下角再走回左上角的整个过程中，最多经过同一个格子一次。

请你帮du熊计算出这个机器人一共有多少种不同的路线。

Input

输入的第一行为一个正整数T(0<T<=50)，表示数据组数。

接下来的T行，每行有两个整数，分别表示X和Y。(1<=X,Y<=1000)

Output

对每组输入数据，输出一个整数，表示机器人不同的路线数量。

Sample Input

1 1

1 1000

3 4

Sample Output

100

问题分析：

群举是第一个直觉的做法，但题目里要求X,Y可以到1000，而X，Y达到10就已经是比较大的一个数，这个数目至少相当于从20的数中选10个出来。

第二想法是动态规划，因为每个点的运动使其构成树结构，但状态转移也不能很容易的找出来

定义S（m,n,x）：满足某种条件的路径的数目，这些条件包括：

1、从坐标（0,0）出发，经过（m,n），终点是（0,1）

2、经过每个坐标最多一次

3、经过(x,0)

任一条逆时针可以走的路径，顺时针也满足题目要求，所以2*S(m,n,0)就是题目要求的值。而根据我们的定义，终点是（0,1），那么第一步一定是（0,0）->（1,0），S(m,n,0)等于S(m,n,1)。

接下来定义的状态转移：

终点是（0,1），可以从两个方向到达（0,1）

1、最后一步(1,1)->(0,1)

这种情况下，满足条件的路径有这样的形式：（0,0)->(1,0)->...(m,n)->...->(1,1)->(0,1)

其数目等于形式为(1,0)->...(m,n)->...->(1,1)的所有满足条件的路径的数目，等于形式为(0,0)->...(m-1,n)->...->(0,1)的的所有满足条件的路径的数目，等于S(m-1,n,x-1)

2、最后一步(0,2)->(0,1)

由定义，一定存在某一步：(x,0)->(x,1)，这个是显然的

对每个1<=x<=m，我们计算满足形式(0,0)->...->(x,0)->(x,1)->...->(m,n)->...->(0,2)->(0,1)的所有路径的数目，定义这个数目为t(m,n,x)

所有经过(x,0)形式满足(0,0)->...->(x,0)...->(m,n)->...->(0,2)->(0,1)的路径的数目为sum（t(m,n,x:m)）

怎么求t(m,n,x)？观察可以发现，t(m,n,x)恰好等于S（m,n-1,x）

总结一下

S（m,n,x）= S(m-1,n,x-1) + sum(S（m,n-1,x:m)

边界条件：

我们总要要求起始点是（0,0）终点是（0,1），则S（m，0,x）=0,应为没有终点（0,1）不存在

S（0，n，x） = 0，

S（0，0，0）=1，

S（0，1，0）=1，

这几个条件画个图都能简单的推出来

空间复杂度：O(M*M*N),时间复杂度O(M*M*N)

最后一个问题，考虑到结算的结果特别大，状态转移矩阵可能要使用大数的数据结构

我的实现

#define AL 1000+1
long pathCount(const size_t M, const size_t N){long S[AL][AL][AL];for(size_t n = 0; n <= N; n++)S[0][n][0] = 0;for(size_t m = 0; m <= M; m++)for(size_t x = 0; x <= M; x++)S[m][0][x] = 0;S[0][0][0] = 1;S[0][1][0] = 1;for(size_t m = 1; m <= M; m++){for(size_t n = 1; n <= N; n++){long tmpS = 0;for(size_t x = m;x >= 1 ; x--){tmpS += S[m][n - 1][x];S[m][n][x] = S[m-1][n][x-1] + tmpS;}S[m][n][0] = S[m][n][1];}}return 2*S[M][N][0];
}

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