PLL锁相环基本原理介绍

文章目录

一、什么是锁相环
二、基本锁相环的构成
- 2.1鉴相器(PD-Phase Detector)
- 2.2环路滤波器（LF-Loop Filter）
- 2.3压控振荡器（VOC）
三、锁相环各部分基本原理分析
- 3.1鉴相器(PD-Phase Detector)原理分析
- 3.2环路滤波器（LF-Loop Filter）原理分析
- 3.3压控振荡器（VCO）原理分析
总结

本人最近在学习有关反馈控制知识时，在网上寻找关于锁相环的相关知识时，发现关于其基本原理的知识讲解较少，故本人整理了如下相关知识供需要的同学一起学习和探讨， 转载请注明出处。

常用的反馈控制电路有以下几种:
（1）APC自动相位控制电路，锁相环电路
（2）AGC自动增益电路
（3）AFC自动频率控制电路

本模块重点介绍自动相位控制电路，也即PLL锁相环电路

一、什么是锁相环

锁相环在工作的过程中，当输出信号的频率与输入信号的频率相等时，输出电压与输入电压保持固定的相位差值，即输出电压与输入电压的相位被锁住，这就是锁相环名称的由来。
锁相环是一个相位误差的控制系统，通过比较参考信号和输出信号之间的相位，产生相位误差来调整输出信号，来达到与参考信号同频的目的。其基本系统结构如下图1。

图1 锁相环系统框图

二、基本锁相环的构成

基本的锁相环由以下三个部分组成

2.1鉴相器(PD-Phase Detector)

鉴相器通过比较输入信号和压控振荡器的输出信号的相位，输出一定的电压信号。输出的电压信号是关于这个信号相位差的函数，具体原理推导在第三部分有介绍。

2.2环路滤波器（LF-Loop Filter）

环路滤波器我们可以把它理解为一个低通滤波器，滤除掉鉴相器输出电压中的高频分量和噪声，只保留低频分量。

2.3压控振荡器（VOC）

压控振荡器受环路滤波器输出电压的控制，压控振荡器的振荡频率向输出信号的频率靠拢，直到它们的频率相同。同时使VCO的输出信号和输入信号的相位保持着特定的关系，用来锁定相位。

三、锁相环各部分基本原理分析

3.1鉴相器(PD-Phase Detector)原理分析

鉴相器的形式各种各样。目前常用的是正弦波鉴相器，可以用乘法器实现。
假设输入的信号为Ui(t)=Uisin⁡(ωit+θi(t)){U_i}\left( t \right) = {U_i}\sin \left( {{\omega _i}t + {\theta _i}\left( t \right)} \right)Ui(t)=Uisin(ωit+θi(t))，压控振荡器的输出为Uo(t)=Uocos⁡(ωot+θo(t)){U_o}\left( t \right) = {U_o}\cos \left( {{\omega _o}t + {\theta _o}\left( t \right)} \right)Uo(t)=Uocos(ωot+θo(t))。

一般情况下，ωi{\omega _i}ωi和ωo{\omega _o}ωo是不相等的，为了便于比较两者之间的相位差，需要将两者统一为ωo{\omega _o}ωo以为参考。

则输入信号变换为:
Ui(t)=Uisin⁡(ωit+θi(t))=Uisin⁡(ωot+(ωi−ωo)t+θi(t))=Uisin⁡(ωot+φi(t)){U_i}\left( t \right) = {U_i}\sin \left( {{\omega _i}t + {\theta _i}\left( t \right)} \right) = {U_i}\sin \left( {{\omega _o}t + ({\omega _i} - {\omega _o})t + {\theta _i}\left( t \right)} \right) = {U_i}\sin \left( {{\omega _o}t + {\varphi _i}\left( t \right)} \right) Ui(t)=Uisin(ωit+θi(t))=Uisin(ωot+(ωi−ωo)t+θi(t))=Uisin(ωot+φi(t))

上式中φi(t)=(ωi−ωo)t+θi(t)=Δωt++θi(t){\varphi _i}\left( t \right) = ({\omega _i} - {\omega _o})t + {\theta _i}\left( t \right) = \Delta \omega t + + {\theta _i}\left( t \right)φi(t)=(ωi−ωo)t+θi(t)=Δωt++θi(t)，Δω{\Delta \omega}Δω表示输出信号角频率与VCO振荡器信号角频率的差，是属于固有的频率差。

为了计算方便，将相位θ{\theta }θ统一用φ{\varphi }φ表示，改写VCO输出信号为Uo(t)=Uocos⁡(ωot+θo(t))=Uocos⁡(ωot+φo(t)){U_o}\left( t \right) = {U_o}\cos \left( {{\omega _o}t + {\theta _o}\left( t \right)} \right){\rm{ = }}{U_o}\cos \left( {{\omega _o}t + {\varphi _o}\left( t \right)} \right)Uo(t)=Uocos(ωot+θo(t))=Uocos(ωot+φo(t))。

重新整理输出信号和VCO输出信号为：

Ui(t)=Uisin⁡(ωot+φi(t)){U_i}\left( t \right) = {U_i}\sin \left( {{\omega _o}t + {\varphi _i}\left( t \right)} \right)Ui(t)=Uisin(ωot+φi(t))	式(3-1)
Ui(t)=Uisin⁡(ωot+φi(t)){U_i}\left( t \right) = {U_i}\sin \left( {{\omega _o}t + {\varphi _i}\left( t \right)} \right)Ui(t)=Uisin(ωot+φi(t))

前面谈到的鉴相器本质上就是一个理想模拟乘法器，所以将输入信号和VCO输出信号相乘。

这里用到数学上的积化和差公式:
sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\alpha + \beta } \right) + \sin \left( {\alpha - \beta } \right)} \right]sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α−β)]
式(3-1)中两式相乘：
Ui(t)⋅Uo(t)⋅Am=12UiUoAm[sin⁡(2ωot+φi(t)+φo(t))+sin⁡(φi(t)−φo(t))]{U_i}\left( t \right) \cdot {U_o}\left( t \right) \cdot {A_m} = \frac{1}{2}{U_i}{U_o}{A_m}\left[ {\sin \left( {2{\omega _o}t + {\varphi _i}\left( t \right) + {\varphi _o}\left( t \right)} \right) + \sin \left( {{\varphi _i}\left( t \right) - {\varphi _o}\left( t \right)} \right)} \right]Ui(t)⋅Uo(t)⋅Am=21UiUoAm[sin(2ωot+φi(t)+φo(t))+sin(φi(t)−φo(t))]
这时我们再看这个式子，这个式子的前半部分是高频分量，后半部分低频分量，这时如果通过环路滤波器，把上式中的高频分量滤除掉，输出就为剩下的低频分量。

这时滤波后的输出就变成了下式:

Ud(t)=12UiUoAmsin⁡(φi(t)−φo(t))=Ksin⁡(φ(t)){U_d}\left( t \right) = \frac{1}{2}{U_i}{U_o}{A_m}\sin \left( {{\varphi _i}\left( t \right) - {\varphi _o}\left( t \right)} \right){\rm{ = K}}\sin \left( {\varphi \left( t \right)} \right)Ud(t)=21UiUoAmsin(φi(t)−φo(t))=Ksin(φ(t))	式(3-2)

式中K=12UiUoAm{\rm{K = }}\frac{1}{2}{U_i}{U_o}{A_m}K=21UiUoAm为常数，其中Am{A_m}Am为乘法器的增益系数，其中φ(t)=φi(t)−φo(t)\varphi \left( t \right){\rm{ = }}{\varphi _i}\left( t \right) - {\varphi _o}\left( t \right)φ(t)=φi(t)−φo(t)。

这时我们再通过式(3-2)就可以清晰的了解到鉴相器的作用了，它本质上就是将两个信号的相位差φ(t)\varphi \left( t \right)φ(t)转化为电压Ud(t){U_d}\left( t \right)Ud(t)输出。

虽然我们已经得到输出电压与相位差的关系，但是它们两者之间是正弦的关系，这时我们考虑能不能把它简化。

学过高等数学中极限的知识，当xxx很小时，sin⁡(x)\sin \left( x \right)sin(x)与xxx可近似。由于φ(t)=φi(t)−φo(t)\varphi \left( t \right){\rm{ = }}{\varphi _i}\left( t \right) - {\varphi _o}\left( t \right)φ(t)=φi(t)−φo(t)很小，一般我们考虑当φ(t)=φi(t)−φo(t)≤30∘\varphi \left( t \right){\rm{ = }}{\varphi _i}\left( t \right) - {\varphi _o}\left( t \right) \le 30^\circφ(t)=φi(t)−φo(t)≤30∘时，sin⁡(φi(t)−φo(t))≈φi(t)−φo(t)\sin \left( {{\varphi _i}\left( t \right) - {\varphi _o}\left( t \right)} \right) \approx {\varphi _i}\left( t \right) - {\varphi _o}\left( t \right)sin(φi(t)−φo(t))≈φi(t)−φo(t)。所以鉴相器的输出式(3-2)变成了Ud(t)=Ksin⁡(φ(t))≈Kφ(t){U_d}\left( t \right) = {\rm{K}}\sin \left( {\varphi \left( t \right)} \right) \approx {\rm{K}}\varphi \left( t \right)Ud(t)=Ksin(φ(t))≈Kφ(t)。

所以，当φ(t)≤30∘\varphi \left( t \right) \le 30^\circφ(t)≤30∘，鉴相器的输入和输出可近似的看成线性关系，输出电压与相位差成正比。

3.2环路滤波器（LF-Loop Filter）原理分析

环路滤波器是线性电路，主要由电阻，电容和电感元件组成，有时还包含运算放大器。由鉴相器部分所述，它是低通滤波器，主要滤除中的高频分量。PLL中常用的环路滤波器有RC积分滤波器（图2左），无源比例积分滤波器（图2中），有源比例积分滤波器（图2右）。无源比例积分滤波器和有源比例积分滤波器能把很小的电压累积起来，生成很大的VCO控制电压。
图2 常用的环路滤波器

3.3压控振荡器（VCO）原理分析

压控振荡器能够根据环路滤波器输出电压的控制，将振荡器的频率向输入信号的频率靠拢，直到两者的频率相同，使得VCO的输出信号和输入信号的相位保持一定，达到相位锁定。它实际上就是一种电压-频率变换器。在实际电路中，压控元件一般由变容二极管构成，环路滤波器输出的电压加到压控振荡器回路上的变容二极管上，使得变容二极管的结电容发生改变，从而使振荡器的频率发生改变。
这里我们用振荡器的瞬时振荡频率ωo(t){\omega _o}\left( t \right)ωo(t)与环路滤波器的输出电压Uc(t){U_c}\left( t \right)Uc(t)之间的关系表示压控振荡器的调频特性，其调频特性为下图3。

图3 VCO的调频特性（示意）

上图表明在特定的范围内，ωo(t){\omega _o}\left( t \right)ωo(t)与Uc(t){U_c}\left( t \right)Uc(t)成正比。

故可写ωo(t){\omega _o}\left( t \right)ωo(t)关于Uc(t){U_c}\left( t \right)Uc(t)的一次方程:

ωo(t)=ωo+KωUc(t){\omega _o}\left( t \right){\rm{ = }}{\omega _o} + {{\rm{K}}_\omega }{U_c}\left( t \right)ωo(t)=ωo+KωUc(t)	式(3-3)

ωo{\omega _o}ωo表示VCO的中心频率。

式(3-3)中输出为ωo(t){\omega _o}\left( t \right)ωo(t)，输入为Uc(t){U_c}\left( t \right)Uc(t)，但是在PLL中，我们需要的是相位变化，根据相位是频率的积分关系，将上式ωo(t){\omega _o}\left( t \right)ωo(t)输出变换为瞬时相位φ1(t){\varphi _1}\left( t \right)φ1(t)，即
φ1(t)=∫0tωo(t)dt=∫0tωo+KωUc(t)dt=ωot+∫0tKωUc(t)dt{\varphi _1}\left( t \right){\rm{ = }}\int\limits_0^t {{\omega _o}\left( t \right)} dt = \int\limits_0^t {{\omega _o} + {{\rm{K}}_\omega }{U_c}\left( t \right)dt = } {\omega _o}t + \int\limits_0^t {{{\rm{K}}_\omega }{U_c}\left( t \right)dt} φ1(t)=0∫tωo(t)dt=0∫tωo+KωUc(t)dt=ωot+0∫tKωUc(t)dt
环路滤波器输出电压引起的相位变化为
φo(t)=φ1(t)−ωo=∫0tKωUc(t)dt{\varphi _o}\left( t \right) = {\varphi _1}\left( t \right) - {\omega _o}{\rm{ = }}\int\limits_0^t {{{\rm{K}}_\omega }{U_c}\left( t \right)dt} φo(t)=φ1(t)−ωo=0∫tKωUc(t)dt
上式表明压控振荡器在环路中起到一次理想积分的作用，属于积分环节。

总结

至此，关于PLL的基础知识已经结束，结合第三部分公式推导，我们从数学的角度上不难明白PLL锁相的基本原理。

当没有输入信号时，VCO以自由振荡频率ωo{\omega _o}ωo振荡。如果环路有一个输入信号Ui(t){U_i}\left( t \right)Ui(t)，开始时，输入频率总是不等于VCO的自由振荡频率的，即ωi≠ωo{\omega _i} \ne {\omega _o}ωi=ωo，如果两者频率相差不大，在适当范围内，鉴相器输出误差电压，经环路滤波器变换后控制VCO的频率，使输出频率变化到接近ωi{\omega _i}ωi，而且环路输入输出信号的相位误差为固定值φ\varphiφ。