数值计算方法绪论笔记(误差，有效数字)

数值计算方法绪论笔记

基础：代数、几何、分析（纯粹数学）

数学特征：

概念的抽象性
逻辑的严密性
结论的确定性
应用的广泛性

数值计算方法 -> 数学计算的应用

科学计算

计算数学（基础）：数值计算

理论与计算相结合研究数学问题的数值方法

特点

不会造成损害
调参去诊断一个算法
可重复（计算机运行）

好的算法优化时间复杂度

目标：掌握一种数学软件

提供有效可行的计算方法
研究算法精度，数值，误差
时间复杂度，空间复杂度
数值实验使之行至有效

误差的概念

x为真值，x*为近似值

绝对误差

绝对误差：e=x−x∗{e>0弱近似值e<0强近似值∣e∣=∣x∗−x∣≤ε误差限（绝对误差限）x∗−ε≤x≤x∗+εorx=x∗±ε绝对误差：e = x - x^* \\ \begin{cases} e>0 \quad 弱近似值 \\ e<0 \quad 强近似值 \end{cases} \\ |e| = |x^* - x| \leq \varepsilon \quad 误差限（绝对误差限）\\ x^* -\varepsilon\leq x \leq x^*+\varepsilon \quad or \quad x = x^*\pm \varepsilon \\ 绝对误差：e=x−x∗{e>0弱近似值e<0强近似值∣e∣=∣x∗−x∣≤ε误差限（绝对误差限）x∗−ε≤x≤x∗+εorx=x∗±ε

相对误差

er=ex=x−x∗x（理论式）er=ex∗=x−x∗x∗（应用式）∣er∣=∣ex∗∣=∣x−x∗x∗∣≤εr(相对误差限)\begin{aligned} e_r=& \frac{e}{x}=\frac{x - x^*}{x} \quad &（理论式）\\ e_r=& \frac{e}{x^*}=\frac{x - x^*}{x^*} \quad &（应用式）\\ |e_r|=&|\frac{e}{x^*}|=|\frac{x - x^*}{x^*}|\leq\varepsilon_r \quad &(相对误差限) \end{aligned} er=er=∣er∣=xe=xx−x∗x∗e=x∗x−x∗∣x∗e∣=∣x∗x−x∗∣≤εr（理论式）（应用式）(相对误差限)

函数的绝对误差

e∣f(x)∣=f′(x)e(x)=f′(x)(x−x∗)≈df(x)e|{f(x)}|=f'(x)e(x)=f'(x)(x-x^*)\approx df(x) e∣f(x)∣=f′(x)e(x)=f′(x)(x−x∗)≈df(x)

初步结论

相对误差比绝对误差更能反映真值与近似值的差距
绝对误差限和相对误差限无穷多（ε\varepsilonε）,越小越好
误差估计就是提供好的误差限，误差限越小，数据越准确

例题

绝对误差e(S)=S∗−S=12gt∗2−12gt2=0.1gt相对误差er(S)=e(S)12gt2=0.1gt12gt20.2t结论t↑⇒{e(S)↑er(S)↓\begin{aligned} 绝对误差&\\ &e(S)=S^* - S = \frac{1}{2}{gt^*}^2-\frac{1}{2}{gt}^2=0.1gt\\ 相对误差&\\ &e_r(S)=\frac{e(S)}{\frac{1}{2}gt^2}=\frac{0.1gt}{\frac{1}{2}gt^2}\frac{0.2}{t}\\ 结论&\\ &t\uparrow\quad\Rightarrow \begin{cases} e(S)\uparrow\\ e_r(S)\downarrow\\ \end{cases} \end{aligned}\\ 绝对误差相对误差结论e(S)=S∗−S=21gt∗2−21gt2=0.1gter(S)=21gt2e(S)=21gt20.1gtt0.2t↑⇒{e(S)↑er(S)↓

有效数字定义

∣e∣=∣x∗−x∣≤0.5×10−k|e|=|x^*-x|\leq 0.5\times10^{-k} ∣e∣=∣x∗−x∣≤0.5×10−k

近似数x∗x^*x∗精确到小数点后第k位，从第一个非0数字到这意味的数字均被成为有效数字

四舍五入后的数字都是有效数字
有效数字越长误差越小
有效数字与小数点位置无关

有效数字例子

设x=0.125345...求三位有效数字x∗=0.125∣e∣=∣x∗−x∣=∣0.125−0.125345∣=0.000345≤0.5×10−3=0.0005\begin{aligned} 设&x=0.125345...\quad 求三位有效数字\\ &x^*=0.125\\ |e|&=|x^*-x|=|0.125-0.125345|\\ &=0.000345\leq0.5\times10^{-3}=0.0005 \end{aligned} 设∣e∣x=0.125345...求三位有效数字x∗=0.125=∣x∗−x∣=∣0.125−0.125345∣=0.000345≤0.5×10−3=0.0005

有效数字定理及证明