矩阵A^TA(A'A)和AA^T(AA')的性质

\quad对于任意一个矩阵A∈Rm×nA\in R^{m\times n}A∈Rm×n，其转置与它自身的乘积ATAA^TAATA,以及它自身与其转置的乘积AATAA^TAAT有如下性质：

1.rank(ATA)=rank(A)=rank(AT)=rank(AAT)rank(A^TA)=rank(A)=rank(A^T)=rank(AA^T)rank(ATA)=rank(A)=rank(AT)=rank(AAT)
\quad证明：首先，显然有rank(ATA)≤rank(A)rank(A^TA)\leq rank(A)rank(ATA)≤rank(A);
\quad再由：ATAx=0⇒xTATAx=0⇒Ax=0A^TAx=0\Rightarrow x^TA^TAx=0\Rightarrow Ax=0ATAx=0⇒xTATAx=0⇒Ax=0可知，ATAA^TAATA的右零空间一定包含于AAA的右零空间. 即：N(ATA)⊂N(A),N(A^TA)\subset N(A),N(ATA)⊂N(A),\quad于是必然有：dim[N(ATA)]≤dim[N(A)],dim[N(A^TA)]\leq dim[N(A)],dim[N(ATA)]≤dim[N(A)],即：n−rank(ATA)≤n−rank(A)n-rank(A^TA)\leq n-rank(A)n−rank(ATA)≤n−rank(A),即得：rank(ATA)≥rank(A)rank(A^TA)\geq rank(A)rank(ATA)≥rank(A).
\quad综上有rank(ATA)=rank(A)rank(A^TA)=rank(A)rank(ATA)=rank(A).在这式子中用ATA^TAT代替AAA就得到：rank(AAT)=rank(AT)rank(AA^T)=rank(A^T)rank(AAT)=rank(AT).结合rank(A)=rank(AT)rank(A)=rank(A^T)rank(A)=rank(AT)证毕.

2.ATAA^TAATA和AATAA^TAAT均对称半正定.
\quad证明：ATAA^TAATA显然对称，同时有：∀x∈Rn,xTATAx=(Ax)T(Ax)≥0\forall x\in R^n,x^TA^TAx=(Ax)^T(Ax)\geq0∀x∈Rn,xTATAx=(Ax)T(Ax)≥0.同理可证AATAA^TAAT对称半正定.

3.设rank(A)=r,那么AATAA^TAAT合同于[IrOOO]m×m\begin{bmatrix}I_r&O\\O& O\end{bmatrix}_{m\times m}[IrOOO]m×m,ATAA^TAATA合同于[IrOOO]n×n\begin{bmatrix}I_r&O\\O& O\end{bmatrix}_{n\times n}[IrOOO]n×n.
\quad证明：由合同变换不改变秩，及上诉性质2可以得到.

4.ATAA^TAATA和AATAA^TAAT具有相同的非零特征值.
\quad证明：参考我的另一篇博客：矩阵AB和BA的特征值关系

5.ATAA^TAATA与ATA^TAT具有相同的列空间，AATAA^TAAT与AAA具有相同的列空间。
\quad证明：显然ATAA^TAATA列空间⊂\subset⊂ATA^TAT列空间,但又有：rank(ATA)=rank(A)rank(A^TA)=rank(A)rank(ATA)=rank(A),可知它们的列空间维数相同，因此它们的列空间必然相同;同理可证AATAA^TAAT与AAA具有相同的列空间。

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