幂运算 数组_Super Pow:如何高效进行模幂运算
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东哥带你搞定算法~
今天来聊一道与数学运算有关的算法题目,LeetCode 372 题 Super Pow,让你进行巨大的幂运算,然后求余数。
int superPow(int a, vector<int>& b);
要求你的算法返回幂运算a^b
的计算结果与 1337 取模(mod,也就是余数)后的结果。就是你先得计算幂a^b
,但是这个b
会非常大,所以b
是用数组的形式表示的。
这个算法其实就是广泛应用于离散数学的模幂算法,至于为什么要对 1337 求模我们不管,单就这道题可以有三个难点:
一是如何处理用数组表示的指数,现在b
是一个数组,也就是说b
可以非常大,没办法直接转成整型,否则可能溢出。你怎么把这个数组作为指数,进行运算呢?
二是如何得到求模之后的结果?按道理,起码应该先把幂运算结果算出来,然后做% 1337
这个运算。但问题是,指数运算你懂得,真实结果肯定会大得吓人,也就是说,算出来真实结果也没办法表示,早都溢出报错了。
三是如何高效进行幂运算,进行幂运算也是有算法技巧的,如果你不了解这个算法,后文会讲解。
那么对于这几个问题,我们分开思考,逐个击破。
如何处理数组指数
首先明确问题:现在b
是一个数组,不能表示成整型,而且数组的特点是随机访问,删除最后一个元素比较高效。
不考虑求模的要求,以b = [1,5,6,4]
来举例,结合指数运算的法则,我们可以发现这样的一个规律:
看到这,我们的老读者肯定已经敏感地意识到了,这就是递归的标志呀!因为问题的规模缩小了:
superPow(a, [1,5,6,4])=> superPow(a, [1,5,6])
那么,发现了这个规律,我们可以先简单翻译出代码框架:
// 计算 a 的 k 次方的结果// 后文我们会手动实现int mypow(int a, int k);
int superPow(int a, vector<int>& b) { // 递归的 base case if (b.empty()) return 1; // 取出最后一个数 int last = b.back(); b.pop_back(); // 将原问题化简,缩小规模递归求解 int part1 = mypow(a, last); int part2 = mypow(superPow(a, b), 10); // 合并出结果 return part1 * part2;}
到这里,应该都不难理解吧!我们已经解决了b
是一个数组的问题,现在来看看如何处理 mod,避免结果太大而导致的整型溢出。
如何处理 mod 运算
首先明确问题:由于计算机的编码方式,形如(a * b) % base
这样的运算,乘法的结果可能导致溢出,我们希望找到一种技巧,能够化简这种表达式,避免溢出同时得到结果。
比如在二分查找中,我们求中点索引时用(l+r)/2
转化成l+(r-l)/2
,避免溢出的同时得到正确的结果。
那么,说一个关于模运算的技巧吧,毕竟模运算在算法中比较常见:
(a*b)%k = (a%k)(b%k)%k
证明很简单,假设:
a=Ak+B;b=Ck+D
其中 A,B,C,D
是任意常数,那么:
ab = ACk^2+ADk+BCk+BD
ab%k = BD%k
又因为:
a%k = B;b%k = D
所以:
(a%k)(b%k)%k = BD%k
综上,就可以得到我们化简求模的等式了。
换句话说,对乘法的结果求模,等价于先对每个因子都求模,然后对因子相乘的结果再求模。
那么扩展到这道题,求一个数的幂不就是对这个数连乘么?所以说只要简单扩展刚才的思路,即可给幂运算求模:
int base = 1337;// 计算 a 的 k 次方然后与 base 求模的结果int mypow(int a, int k) { // 对因子求模 a %= base; int res = 1; for (int _ = 0; _ // 这里有乘法,是潜在的溢出点 res *= a; // 对乘法结果求模 res %= base; } return res;}
int superPow(int a, vector<int>& b) { if (b.empty()) return 1; int last = b.back(); b.pop_back();
int part1 = mypow(a, last); int part2 = mypow(superPow(a, b), 10); // 每次乘法都要求模 return (part1 * part2) % base;}
你看,先对因子a
求模,然后每次都对乘法结果res
求模,这样可以保证res *= a
这句代码执行时两个因子都是小于base
的,也就一定不会造成溢出,同时结果也是正确的。
至此,这个问题就已经完全解决了,已经可以通过 LeetCode 的判题系统了。
但是有的读者可能会问,这个求幂的算法就这么简单吗,直接一个 for 循环累乘就行了?复杂度会不会比较高,有没有更高效的算法呢?
有更高效的算法的,但是单就这道题来说,已经足够了。
因为你想想,调用mypow
函数传入的k
最多有多大?k
不过是b
数组中的一个数,也就是在 0 到 9 之间,所以可以说这里每次调用mypow
的时间复杂度就是 O(1)。整个算法的时间复杂度是 O(N),N 为b
的长度。
但是既然说到幂运算了,不妨顺带说一下如何高效计算幂运算吧。
如何高效求幂
快速求幂的算法不止一个,就说一个我们应该掌握的基本思路吧。利用幂运算的性质,我们可以写出这样一个递归式:
这个思想肯定比直接用 for 循环求幂要高效,因为有机会直接把问题规模(b
的大小)直接减小一半,该算法的复杂度肯定是 log 级了。
那么就可以修改之前的mypow
函数,翻译这个递归公式,再加上求模的运算:
int base = 1337;
int mypow(int a, int k) { if (k == 0) return 1; a %= base;
if (k % 2 == 1) { // k 是奇数 return (a * mypow(a, k - 1)) % base; } else { // k 是偶数 int sub = mypow(a, k / 2); return (sub * sub) % base; }}
这个递归解法很好理解对吧,如果改写成迭代写法,那就是大名鼎鼎的快速幂算法。至于如何改成迭代,很巧妙,这里推荐一位大佬的文章 让技术一瓜共食:快速幂算法。
虽然对于题目,这个优化没有啥特别明显的效率提升,但是这个求幂算法已经升级了,以后如果别人让你写幂算法,起码要写出这个算法。
至此,Super Pow 就算完全解决了,包括了递归思想以及处理模运算、幂运算的技巧,可以说这个题目还是挺有意思的,你有什么有趣的题目,可以留言分享一下。
历史文章:
回溯算法团灭排列/组合/子集问题
加密算法的前世今生
这个问题不简单:寻找缺失元素
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