本文是 2021年春季学期-信号与系统-第十四次作业参考答案中各小题的参考答案。

§04 第四小题

4、设x[n]x\left[ n \right]x[n]为一有限长序列，当n<0n < 0n<0和n≥Nn \ge Nn≥N时，且NNN是偶数。已知DFT{x[n]}=X[k]DFT\left\{ {x\left[ n \right]} \right\} = X\left[ k \right]DFT{x[n]}=X[k]，试利用X[k]X\left[ k \right]X[k]来表示以下各序列的DFT：

（1）x1[n]=x[N−1−n]x_1 \left[ n \right] = x\left[ {N - 1 - n} \right]x1[n]=x[N−1−n]（2）x2[n]=(−1)nx[n]x_2 \left[ n \right] = \left( { - 1} \right)^n x\left[ n \right]x2[n]=(−1)nx[n]（3）

（4）

（5）

（6）

（DFT有限长度为 2N）

（7）x7[n]=x[2n]x_7 \left[ n \right] = x\left[ {2n} \right]x7[n]=x[2n]（DFT有限长度为N/2）

▓ 求解

（1）解答：
X1[k]=∑n=0N−1x[N−1−n]Wnk=∑m=N−10x[m]W(N−1−m)kX_1 \left[ k \right] = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ {N - 1 - n} \right]W^{nk} } \, = \sum\limits_{m = N - 1}^0 {x\left[ m \right]W^{\left( {N - 1 - m} \right)k} }X1[k]=n=0∑N−1x[N−1−n]Wnk=m=N−1∑0x[m]W(N−1−m)k=∑m=0N−1x[m]W−mk⋅W−k=X[−k]Nej2πkN= \sum\limits_{m = 0}^{N - 1} {x\left[ m \right]W^{ - mk} \cdot W^{ - k} } \, = X\left[ { - k} \right]_N e^{j{{2\pi k} \over N}}=m=0∑N−1x[m]W−mk⋅W−k=X[−k]NejN2πk

（2）解答：
X2[k]=∑n=0N−1(−1)nx[n]Wnk=∑n=0N−1x[n]ejnπej2πNkX_2 \left[ k \right] = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {\left( { - 1} \right)^n x\left[ n \right]W^{nk} } = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right]e^{jn\pi } e^{j{{2\pi } \over N}k} }X2[k]=n=0∑N−1(−1)nx[n]Wnk=n=0∑N−1x[n]ejnπejN2πk=∑n=0N−1x[n]ej2πNn(k+N2)=X[k±N2]N= \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right]e^{j{{2\pi } \over N}n\left( {k + {N \over 2}} \right)} } = X\left[ {k \pm {N \over 2}} \right]_N=n=0∑N−1x[n]ejN2πn(k+2N)=X[k±2N]N

（3）解答：
X3[k]=∑n=02N−1x3[n]W2Nnk=∑n=0N−1x[n]⋅W2Nnk+∑n=N2N−1x[n−N]⋅W2NnkX_3 \left[ k \right] = \sum\limits_{n = 0}^{2N - 1} {x_3 \left[ n \right]W_{2N}^{nk} } = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_{2N}^{nk} } + \sum\limits_{n = N}^{2N - 1} {x\left[ {n - N} \right] \cdot W_{2N}^{nk} }X3[k]=n=0∑2N−1x3[n]W2Nnk=n=0∑N−1x[n]⋅W2Nnk+n=N∑2N−1x[n−N]⋅W2Nnk=∑n=0N−1x[n]⋅WNnk2+∑m=0N−1x[m]⋅WN(m+N)k2= \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_N^{n{k \over 2}} } + \sum\limits_{m = 0}^{N - 1} {x\left[ m \right] \cdot W_N^{\left( {m + N} \right){k \over 2}} }=n=0∑N−1x[n]⋅WNn2k+m=0∑N−1x[m]⋅WN(m+N)2k=∑n=0N−1x[n]⋅WNnk2+WNkN2∑m=0N−1x[m]⋅WNmk2= \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_N^{{{nk} \over 2}} } + W_N^{{{kN} \over 2}} \sum\limits_{m = 0}^{N - 1} {x\left[ m \right] \cdot W_N^{{{mk} \over 2}} }=n=0∑N−1x[n]⋅WN2nk+WN2kNm=0∑N−1x[m]⋅WN2mk=[1+(−1)k]∑n=0N−1x[n]⋅WNnk2=[1+(−1)k]X[k2]N= \left[ {1 + \left( { - 1} \right)^k } \right]\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_N^{{{nk} \over 2}} } = \left[ {1 + \left( { - 1} \right)^k } \right]X\left[ {{k \over 2}} \right]_N=[1+(−1)k]n=0∑N−1x[n]⋅WN2nk=[1+(−1)k]X[2k]N

（4）解答：
X4[k]N2=∑n=0N2−1{x[n]+x[n+N2]}⋅WN2nkX_4 \left[ k \right]_{{N \over 2}} = \sum\limits_{n = 0}^{{N \over 2} - 1} {\left\{ {x\left[ n \right] + x\left[ {n + {N \over 2}} \right]} \right\} \cdot W_{{N \over 2}}^{nk} }X4[k]2N=n=0∑2N−1{x[n]+x[n+2N]}⋅W2Nnk=∑n=0N2j−1x[n]⋅WN2nk+∑m=N2N−1x[m]⋅WN2mk= \sum\limits_{n = 0}^{{N \over 2}j - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_N^{2nk} } + \sum\limits_{m = {N \over 2}}^{N - 1} {x\left[ m \right] \cdot W_N^{2mk} }=n=0∑2Nj−1x[n]⋅WN2nk+m=2N∑N−1x[m]⋅WN2mk=∑n=0N−1x[n]⋅WN2nk=X[2k]= \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_N^{2nk} } = X\left[ {2k} \right]=n=0∑N−1x[n]⋅WN2nk=X[2k]

（5）解答：
X5[k]=∑n=0N−1x[n]⋅W2Nnk=∑n=0N−1x[n]⋅WNnk2=X[k2]X_5 \left[ k \right] = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_{2N}^{nk} } = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_N^{{{nk} \over 2}} } = X\left[ {{k \over 2}} \right]X5[k]=n=0∑N−1x[n]⋅W2Nnk=n=0∑N−1x[n]⋅WN2nk=X[2k]

（6）解答：
X6[k]=∑n=02N−1x6[n]⋅W2Nnk=∑n=0N−1x[n]⋅WNnk=X[k]X_6 \left[ k \right] = \sum\limits_{n = 0}^{2N - 1} {x_6 \left[ n \right] \cdot W_{2N}^{nk} } = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_N^{nk} } = X\left[ k \right]X6[k]=n=0∑2N−1x6[n]⋅W2Nnk=n=0∑N−1x[n]⋅WNnk=X[k]

（7）解答：
X7[k]=∑n=0N−1x7[n]⋅WN2nk=∑n=0N−1x[n]⋅1+(−1)n2WNnkX_7 \left[ k \right] = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x_7 \left[ n \right] \cdot W_{{N \over 2}}^{nk} } = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot {{1 + \left( { - 1} \right)^n } \over 2}W_N^{nk} }X7[k]=n=0∑N−1x7[n]⋅W2Nnk=n=0∑N−1x[n]⋅21+(−1)nWNnk=12{∑n=0N−1x[n]⋅WNnk+∑n=0N−1x[n](−1)nWNnk}= {1 \over 2}\left\{ {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_N^{nk} } + \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right]\left( { - 1} \right)^n W_N^{nk} } } \right\}=21{n=0∑N−1x[n]⋅WNnk+n=0∑N−1x[n](−1)nWNnk}=12{X[k]+X[k+N2]N}= {1 \over 2}\left\{ {X\left[ k \right] + X\left[ {k + {N \over 2}} \right]_N } \right\}=21{X[k]+X[k+2N]N}

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