2017年ICPC西安邀请赛A、XOR（线段树套线性基 + 思维）

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Problem

给你 nnn 和 nnn 个整数的数组 aaa，以及kkk和qqq，有 qqq 次询问，每次询问输入两个整数l,rl,rl,r，表示区间[l,r][l,r][l,r]，要你每次在这个区间里选择若干个数，使得这些数的异或和sumsumsum，再按位或kkk的值最大，即求最大的res = sum | k。

其中0≤ai≤108,1≤N≤10000,1≤Q≤100000,0≤K≤1000000 \le a_i \le 10^8,1≤N≤10000, 1≤Q≤100000, 0≤K≤1000000≤ai≤108,1≤N≤10000,1≤Q≤100000,0≤K≤100000。

Solution

首先我们本题需要的一个操作就是在 nnn 个数里，选择若干个数，使得他们的异或和最大，很明显，这个就是线性基的基本操作。

区间操作 —— 线段树
异或操作 —— 线性基

所以我们可以考虑一下线性基。

然后分析题意，发现要求的答案是 sum | k 最大，而不是单纯的最大的 sum 。所以来思考一下，最大的 sum 是不是最大的 res = sum | k 呢？

举个栗子：

max_sum(2)=10000max\_sum_{(2)} = 10000max_sum(2)=10000

k(2)=10000k_{(2)} = 10000k(2)=10000

(max_sum∣k)(2)=10000=24=16(max\_sum | k)_{(2)} = 10000 = 2^4=16(max_sum∣k)(2)=10000=24=16

而我们的线性基实际上可以线性表出一个数x=1111x=1111x=1111，因为 xxx不是最大的异或和，所以我们直接线性基求 max_summax\_summax_sum是得不到 xxx 的，但是(k∣x)(2)=11111=31(k|x)_{(2)}=11111=31(k∣x)(2)=11111=31明显大于 161616。

我们发现按位或运算，只要有一个1就行了，两个1和一个1没有区别，所以对于k中是1 的所有位（二进制下），线性基得到的sumsumsum，都没必要是1，所以我们可以把整个a数组的k是1的那一位全部变成0，这样相当于把a数组，每个数看成一个二进制下的向量组成的向量组的线性空间的线性基的维数减少了，也就是这个线性空间的极大线性无关向量组的向量个数减少了，删掉了我们不需要的1，因为这些1存在在这个线性基里时，会导致最大异或和更大，但是这个很大的数对我们最终的答案没有贡献。

也就是按位或运算，是两个数的二进制中，对应位只要有 111 ，那么就是该位结果就是 111 ，所以要想 kkk 按位或运算后的结果尽量大，就需要异或出的数，各个位上的 111 尽量多。

所以我们可以将 kkk 取反，然后把所有数在加入线性基之前，全部 按位异或运算一遍，这样把没用的1全部删掉，再加入线性基。

这样，这个线性空间中的线性基的这个极大线性无关向量组中的每一位，全部都是能使得 kkk 变大的数了，因为 kkk 的二进制上的每一位 111 的位置，线性基中都是000，而 kkk 的二进制上的每一位 000 的位置，线性基中可能是111，这样我们此时线性基得到的最大的异或和

所以，最终的答案就是 k | sum （sum 是修改后的区间的数插入线性基的最大异或和。

我们使用线段树维护区间操作即可。实际上就是把线段树权值换成当前区间的线性基，简单维护一下即可。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <map>
#include <queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef int itn;
typedef pair<int, int>PII;
const int N = 50007, mod = 1e9 + 7, INF = 2.1e9;
const double eps = 1e-8;
const int Base = 27 * 2;//线性基数组大小，开大一点，嘻嘻嘻
//s < 2 ^ {63} - 1
//说明线性基最多有62个向量struct LinearBase
{int dimension = 27; // dimension 维数，就是线性基的维数 = logs, (s为元素最大值)//dimension一定要是logs,错一点就会WA呜呜呜//线性基数组ll a[Base + 7];//注意这里要加一点，因为下面的循环也是这个数LinearBase() {fill(a, a + Base + 7, 0);}LinearBase(ll *x, int n) {build(x, n);}void insert(ll t){// 逆序枚举二进制位for(int i = dimension; i >= 0; -- i) {if(t == 0) return ;// 如果 t 的第 i 位为 0，则跳过if(!(t >> i & 1)) continue;// 如果 a[i] != 0，则用 a[i] 消去 t 的第 i 位上的 1if(a[i]) t ^= a[i];else {// 找到可以插入 a[i] 的位置// 用 a[0...i - 1] 消去 t 的第 [0, i) 位上的 1// 如果某一个 a[k] = 0 也无须担心，因为这时候第 k 位//不存在于线性基中，不需要保证 t 的第 k 位为 0for(int k = 0; k < i; ++ k)if(t >> k & 1) t ^= a[k];// 用 t 消去 a[i + 1...L] 的第 i 位上的 1for(int k = i + 1; k <= dimension; ++ k)if(a[k] >> i & 1) a[k] ^= t;// 插入到 a[j] 的位置上a[i] = t;break;}// 此时 t 的第 i 位为 0，继续寻找其最高位上的 1}// 如果没有插入到任何一个位置上，则表明 t 可以由 a 中若干个元素的异或和表示出，即 t 在 span(a) 中}// 数组 x 表示集合 S，下标范围 [1...n]void build(ll *x, int n){fill(a, a + Base + 7, 0);for(int i = 1; i <= n; ++ i)insert(x[i]);}ll query_max(){ll res = 0;for(int i = 0; i <= dimension; ++ i)res ^= a[i];return res;}void mergefrom(const LinearBase &other) {for(int i = 0; i <= dimension; ++ i)insert(other.a[i]);}static LinearBase merge(const LinearBase &a, const LinearBase &b) {LinearBase res = a;for(int i = 0; i <= 27; ++ i)res.insert(b.a[i]);return res;}
};int n, m, t, q, k;
ll a[N];struct Tree
{int l, r;LinearBase elem;//element
}tr[N];void build(int p, int l, int r)
{tr[p] = {l, r};if(l == r) {tr[p].elem.insert(a[r]);return ;}int mid = (l + r) >> 1;build(p << 1, l, mid);build(p << 1 | 1, mid + 1, r);tr[p].elem = tr[p].elem.merge(tr[p << 1].elem, tr[p << 1 | 1].elem);
}LinearBase query(int p, int l, int r)
{if(l <= tr[p].l && tr[p].r <= r)return tr[p].elem;int mid = (tr[p].l + tr[p].r) >> 1;LinearBase res;if(l <= mid) res = res.merge(res, query(p << 1, l, r));if(r > mid) res = res.merge(res, query(p << 1 | 1, l, r));return res;
}int main()
{scanf("%d", &t);while(t -- ) {scanf("%d%d%d", &n, &q, &k);for(int i = 1; i <= n; ++ i) {scanf("%lld", &a[i]);/*k的存在会对求线性基最大值时的主元产生影响，所以预处理一下，a[i]只保留k为0的位，这样贡献最大*/for(int j = 0; j < 27; ++ j) {if((k >> j & 1) && (a[i] >> j & 1))a[i] ^= (1 << j);}}build(1, 1, n);while(q -- ) {int l, r;scanf("%d%d", &l, &r);LinearBase res = query(1, l, r);printf("%lld\n", res.query_max() | k);}}return 0;
}

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