作者 |小白

来源 |小白学视觉

有人认为恢复模糊的图像是不可能的，因为会丢失信息。但我对这个问题进行了很多思考，并认为如果输出图像的大小与输入图像的大小相同，那实际上是可能的！这样，输出就有足够的像素/信息来恢复原始像素/信息。

首先，解释一下什么是卷积以及如何使用卷积来模糊图像，以及它如何使用模糊的图像。卷积是一种数学运算，当应用于图像时，可以将其视为应用于它的过滤器。

在这个动画中，我们可以看到一个图像与过滤器/内核卷积的例子。原始图像是蓝色矩阵，内核是滑动的深蓝色矩阵，输出是蓝绿色矩阵。

卷积是通过将重叠的内核和图像相乘，然后对乘积求和来获得的。以下等式可能会有所帮助：给定图像x和内核k，卷积的结果将为y。

和

如果我们已经知道图像上的卷积是如何工作的，也许这个方程组并不太可怕；如果我们不知道，别担心，我们不必记住它，这就是程序的工作！一个有用的表示形式是将卷积解释为矩阵乘法，从上面的等式中可以很容易的写出来：

等价于矩阵方程

通过这种表示，似乎知道A和y，那么x可以通过求解上面的方程来计算。但是，由于A 的列数多于行数，因此该系统尚未确定，这意味着我们不能只获得一个解。

首先说，为了能够反转卷积，输入和输出大小必须相同。在矩阵形式中，这将对应于 A 是正方形（行和列的书面相同），从而我们可以将其求逆并将x计算为：

现在，我们的输入是 4x4，输出是 2x2。我们如何获得与输入相同大小的输出？一种方法是向输入图像中添加填充，例如 0 填充：

这样，输出将像原始输入一样是 4x4。详细地说，对于这种带有填充的卷积的简单情况，输出尺寸可以计算为：

如果我们希望输入和输出具有相同的大小，那么填充必须是：

这产生了一个重要条件：内核大小必须是奇数，因为填充是一个整数值。

这种卷积也可以表示为上述矩阵的乘积，但是我不会不厌其烦地阅读它，因为尺寸会大得多。可以写出与 y 的每个项相关联的卷积方程，然后将其构造为如上所述矩阵乘法。

请注意，尽管填充的输入是 6x6，对应于 36 个元素，但这些元素中只有 4x4 是唯一且未知的变量。因此，方程中的 x 只能是 16x1，而不是 36x1。

要求解 x 并反转卷积，只需知道 A 和 y 。要构造 A ，需要知道用于卷积的内核和所使用的填充类型。

现在，如何使用？可以通过卷积来模糊图像。例如，高斯模糊是通过将图像与内核/滤波器卷积来获得的，该内核/滤波器的中心具有高斯分布，最大值在中心，其值总和为 1。

我首先使用高斯模糊对图像进行模糊处理。我用高斯核对原始图像进行了卷积，并使用了复制填充（原始图像之外的值设置为最接近的边界值，而不是 0）。

左边是原图，右边是模糊图像。

因为我们知道使用的内核，所以我们能够构造矩阵 A 然后求解 x 。结果如预期：重建的图像与原始图像完全相同。

左边是模糊的图像，右边是重建的图像。

现在，这种 100% 重建是可能的，因为使用的内核和填充是已知的。如果我们使用的内核与用于模糊原始图像的内核不完全相同，会发生什么？

不使用精确内核时，左侧图像模糊，右侧重建图像。

如果假设使用复制填充时填充为 0 ，该怎么办呢？

在不假设精确填充的情况下，左侧图像模糊，右侧重建图像。

正如我们所见，如果我们不知道使用的内核和填充，那么我们就无法重建原始图像。从这个意义上说，它几乎可以看作是一个加密问题：如果我们知道“密钥”，那么我们便能够重建原始消息而不回造成任何损失或额外的噪音。

重建原始图像也是一项非常艰巨的任务，因为矩阵 A 会根据原始图像的大小增长非常快。如果原始图像是 4x4，那么 A 将是 16x16 ——元素数量以 N² 缩放。

希望小伙伴们喜欢这个简短的解释并发现它很有趣。我确实做到了，这是了解更多关于 Julia、卷积、图像处理和线性代数的好方法。

我认为我们现在不必担心人们不会恢复模糊的图像了。

左边是模糊的图像，右边是重建的图像。