图论(二分图构造) ---- 二分图的性质 C. Arpa’s overnight party and Mehrdad’s silent entering

题目大意：

有 nnn 对情侣坐在 2n2n2n 个板凳上，板凳排成环形。每张凳子恰好坐一个人。现在有两种食物分给他们。规定：
1、每对情侣中，俩人不能分到同一种食物；
2、环上任意三个相邻的人，不能全分到同一种食物。
给出情侣关系，请构造一种方案或输出 -1。
n<=105n<=10^5n<=105

解题思路

首先我们对这个题目进行化简就是把任意两个不同食物的进行连边。
我们先不考虑情侣
先看看第二条件对于任意3点之间我们只有这三种情况，我们发现这三个点都是二分图！！

那么我们就很可以把想办法把图变成二分图！！
会发现，一定会有一条边连着相邻的两个点。那我们考虑直接在相邻的点上连边。

于是构造方法如下：首先情侣连边，然后在原图的相邻点对上，隔一对连一条边，形如：

（蓝边表示情侣连边，红边表示相邻点对隔一对连一条）

为什么要隔一对连一条？因为这样可以限制每个点的度数最多为2，即图上的环全是简单环。
为什么这样没有奇环？因为我连红边的时候，如果我连的这对点之前已经相连，那一定是通过 k 条蓝边和 k-1 条红边，也就是说加上我即将连的红边之后，这肯定是个偶环。

AC code

#include <bits/stdc++.h>
#define mid ((l + r) >> 1)
#define Lson rt << 1, l , mid
#define Rson rt << 1|1, mid + 1, r
#define ms(a,al) memset(a,al,sizeof(a))
#define log2(a) log(a)/log(2)
#define lowbit(x) ((-x) & x)
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LLF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define f first
#define s second
#define endl '\n'
using namespace std;
const int N = 2e6 + 10, mod = 1e9 + 9;
const int maxn = 500010;
const long double eps = 1e-5;
const int EPS = 500 * 500;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<ll,ll> PLL;
typedef pair<double,double> PDD;
template<typename T> void read(T &x) {x = 0;char ch = getchar();ll f = 1;while(!isdigit(ch)){if(ch == '-')f*=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x = x*10+ch-48;ch=getchar();}x*=f;
}
template<typename T, typename... Args> void read(T &first, Args& ... args) {read(first);read(args...);
}
int n;
vector<PII>p;struct node {int nxt, to;
}edge[maxn];
int head[maxn], cnt;
void add(int x,int y) {edge[cnt] = {head[x],y};head[x] = cnt ++;edge[cnt] = {head[y],x};head[y] = cnt ++;
}
int color[maxn];
void dfs(int u,int c) {color[u]=c;for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt) {int v=edge[i].to;if(color[v])continue;dfs(v,3-c);}
}
int main() {IOS;cin >> n;for(int i = 1 ; i <= n; i ++)add(2*i-1,2*i);for(int i = 1; i <= n; i ++) {int x, y;cin >> x >> y;add(x,y);p.push_back(make_pair(x,y));}for(int i = 1; i <= 2 * n; i ++)if(!color[i])dfs(i,1);for(int i=0;i<n;i++)cout << color[p[i].first] << " " << color[p[i].second] << endl;return 0;
}

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