信号理论：信号集及其映射

引言

信号理论研究的是在信号空间中信号的分析与综合以及系统的分析与综合问题。在这里，信号不再被看作函数，而是被看作信号空间中的一个点。在研究信号空间之前，我们先把信号看作信号集中的一个元素，以作为把信号看作信号空间中点的概念过渡。

1.集合

定义1.1：具有某种性质的具体或抽象事物的全体称为集合。一般地，集合用大写字母如A、B、C、X、Y表示。集合中的事物称为集合的元素，用小写字母如a、b、c、x表示。

集合可以用两种方式来表示，分别称为列举法和描述法。列举法是指直接将集合的所有元素列出来的方式，如A={a, b, c, d}。描述法是将集合元素的共同性质写出来的方式，如B={x|x是整数}。

如果某个事物x是一个集合A的元素，称x属于集合A，记作。如果元素y不是集合A的元素，称y不属于集合A，记作。如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集，称B包含A或A包含于B，记作。如果，则称A与B相等，记作A=B。

2.论域

定义1.2：所讨论的范围内所有事物的全体称为论域。从论域的概念出发，又可以给集合下另一个定义：

定义1.3：论域X中的部分或全部元素的全体称为集合。由论域中全部元素组成的集合称为全集，用表示；不含任何元素的集合称为空集，用表示。论域中任何集合都是论域的子集。

3.信号集

定义1.4：由具有某种性质的信号组成集合，或所有信号论域的子集称为信号集。例如，所有因果信号组成的集合有：

1.2 常用信号集

1.矩形信号集

矩形信号集可表示为：
(1.1)

式中，

(1.2)

2.正弦信号集

正弦信号集可表示为
(1.3)

式中分别称为正弦信号的幅度、相位和频率。

3.对称信号集

对称信号集分为奇对称信号集和偶对称信号集，分别表示为：

(1.4)

和：

(1.5)

4.周期信号集

所有周期为T的信号的集合表示为：

(1.6)

5.幅度有界信号集

幅度的瞬时值总不大于某个正实数的信号称为幅度有界信号，所有幅度不大于K的有界信号的集合表示为：

(1.7)

6.能量有限信号集

若信号的能量为有限的数值，则称其为能量有限信号。能量有限信号集定义为：

(1.8)

能量有限信号又称平方可积信号。

7.时限信号集

时限信号集是指在区间T之外信号为零的所有信号的集合，其数学表达式为：

(1.9)

8.带限信号集

它由所有信号频谱在区间之外为零的为由组成，即：

(1.10)

9.时域离散信号集

所有采样周期为t的时域离散信号的集合表示为：

(1.11)

1.3 信号集的运算

信号集的运算是指由若干已知信号集，通过运算得到新的信号集。集合的基本运算有：交、并、差和补四种。

定义1.5：两个集合A和B的交、并和差仍是一个集合，分别称为集合A与B的交集、并集和差集，记作。分别定义如下：

(1.12)

(1.13)

(1.14)

定义1.6：集合A的补集定义为全集与A的差集，记作，即。

在研究集合(包括信号集)时，通常采用“文氏图”来形象表示集合间的运算。下图给出了集合的交、并、差运算的文氏图。

例1.1 已知信号集为，其中：

(1.15)

试求。

解：由式(1.15)可知，故。

例1.2 试求时限信号集与带限信号集的交集。

解：由于一个非零信号不可能既是时限的又是带限的，因而：

1.4 信号集的划分与等价关系

为便于掌握一个信号集，常常需要把信号集划分成一些互不相交的子集，并分别对子集中的信号进行研究。从数学上讲，把集合S划分为子集可以表示为：

(1.16)

例如，我们可以把信号集按连续性分为时域连续信号集和时域离散信号集，按随机性分为随机信号集与确定信号集，按周期性分为周期信号集和非周期信号集（在研究信号的傅里叶变换时，我们就是先研究周期信号的傅里叶级数表示，然后再研究非周期信号的傅里叶变换的）。

在对集合进行划分时，必须按照一定的规则来进行，不可能任意划分。通常，一个划分是由集内元素的（二元）等价关系产生的。所谓（二元）关系，是指对于集合X中的两个元素之间的一种联系。设R表示一种联系，若集合X中的两个元素x、y间存在这种联系，则称它们具有关系R，记作xRy；否则称它们不具有关系R，记作。集合X中的等价关系R是指具有如下三条性质的关系：

1) 自反性： xRx，对任意的
2) 对称性：若xRy，则yRx，
3) 传递性：若xRy且yRz，则xRz

等价关系通常用“∽”来表示，即x∽y表示“x等价于y”。例如，实数集上的相等关系就是一种等价关系。对于划分和等价关系之间的关系，我们有如下的定理。

定理1.1：任何一个划分产生一个等价关系，任何一个等价关系产生一个划分。划分与等价关系在信号理论中有着广泛的用途，下面是一些十分有用而且有趣的例子。

例1.3 用模同余作为等价关系对二进制分组信号集进行划分，如寻呼机的地址编码。

例1.4 二进制基带不归零信号的接收，用数值的正负符号相同作为等价关系。

例1.5 相关接收机，用与特定信号的相关值超过某一门限作为等价关系。如脉冲压缩、扩频通讯和数字水印技术等等。

例1.6 信号投影，用投影信号相同作为等价关系。

1.5 信号集的映射

1.映射

定义1.7：设A、B为非空集合，如果存在某种规则f，使得A中的任一元素x，在规则f下，确定B中的一个元素y与之对应，则称此规则为映射，记作。映射也可以记作：

(1.17)

并称元素y为元素x（在映射f下）的象，称元素x为元素y的原象，称集合A为映射f的定义域。记：

(1.18)

即A中所有元素的象组成的集合，称B’为映射f的值域。如果B=B’，则称f为A到B上的映射；反之，则称f为A到B中的映射。

例如，信号处理系统就是一种信号集到信号集的映射。

定义1.8：设映射f为A到B上的，若对于B中的任一元素，其在A中的原象是唯一的，则称f为一一映射，并称为f的逆映射。

定义1.9：设有映射，则由它们可以构造一个由集合A到集合C的映射f，称其为的复合映射，记为。例如信号处理系统的级联就构成了一个复合映射。

2.集合的势

定义1.10：设A是集合，称A中元素的个数为A的势，记作。若，则称A为有限集；否则，称A为无限集。

对于有限集合，其势一般比较好计算。但对于无限集合，其势通常难以直接计算。为此，我们有如下的定理，

定理1.2：若非空集合A、B间存在一一映射，则集合A与B等势，即。

由上述定理可知，若一个集合的势不能直接计算得到，那么可以通过找一个与它存在一一映射关系的势已知的集合的方式来计算它的势。下面我们来讨论无限集的势，我们有如下的定义：

定义1.11：自然数集N的势为（读作阿列夫0）,实数集的势为，且。称势为的集合称为可列集，势不超过的集合称为至多可列集，势大于的集合称为不可列集。例如，整数集是可列的，因为在整数和自然数之间存在一一映射关系，因此整数集的势也是。

定义1.12：如果两个信号只有至多可列个不同的点，则称它们“几乎处处相等”。例如，信号x(t)和

(1.19)

就是几乎处处相等的信号（式中C是常数）。显然，“几乎处处相等”是一种等价关系。今后，凡几乎处处相等的信号我们就忽略掉它们的差异，认为它们是相等的。

3.映射与划分和等价关系

设有集合S的一个划分，令集合。那么我们可以建立这样的映射，满足：

(1.20)

另外，若令二元关系为“在映射f下的象相同”，则该关系是一个等价关系。因此，任何一个划分或等价关系可以表示为一个映射；反之，任何一个映射可以产生一个划分或等价关系。

1.6 信号集的泛函

1.泛函

定义1.13：我们把集合到数集（如自然数集、实数集等）的映射称为泛函。信号集的函数是信号集到数集的映射。由于信号集中的元素通常都是函数，因此泛函可以理解为“函数的函数”。

常用的信号集上的泛函有：

2.信号的级数表示法

设为一个给定的基本信号集，其元素是可列的。此时，信号可近似表示为：

(1.21)

式中为可列个泛函。这样，信号集中的信号就可用可列个泛函来表示，因而可用可列维空间中的一个点来表示，从而大大方便了对信号的分析和处理。

信号级数表示法的一个常见的例子，就是信号的时间级数表示法。此时，基本函数集是由内插脉冲通过一系列延时形成的，

(1.22)

其中具有如下特性：

(1.23)

显然，用内插脉冲作基本信号，任意连续信号可以用时间级数表示为：

(1.24)

式中的泛函可简单地用信号采样值来表示。

信号的另一种重要的级数表示法是傅里叶级数表示法。如果，则有：

(1.25)

式中，级数的展开系数，即傅里叶系数由如下的泛函给出：

(1.26)

1.7 信号的时域离散处理

利用时域连续信号的时间级数表示法，可以很容易分析信号的时域离散处理系统，这个系统的一般框图如下图所示。

图中，采样电路是求得信号时间级数表示式中的泛函，从而用离散信号来表示x(t)。时域离散信号处理系统一般为一个单位抽样响应为的时域滤波器，其频率特性为:

(1.27)

其中是归一化频率，也称数字频率。时域离散系统的输出为：

(1.28)

对上式两边取傅里叶变换，则：

(1.29)

式中，是离散序列x(k)的傅里叶变换。图1.2中，PAM表示脉冲幅度调制，即用序列y(k)去控制内插脉冲的幅度，因而：

(1.30)

对上式两边取傅里叶变换可得：

(1.31)

再将(1.29)式代入上式，得：

(1.32)

再由著名的泊松求和公式：

(1.33)

其中分别是x(t)和它的采样序列x(kt)的傅里叶变换。将上式代入(1.32)式，有：

(1.34)

下面研究，信号的时间级数表示法(1.24)式在什么条件下成立，即图1.2中的输出信号在什么条件下可以准确复现输入信号。由式(1.34)可知，如果，同时，且选择，则有：

(1.35)

若取：

(1.36)

则有：

(1.37)

即，两者仅相差一个常系数。这说明，只要，且满足(1.36)式，就可以用x(t)的采样值x(k)完全恢复x(t)。显然，内插脉冲为：

(1.38)

因而，可根据信号的时间级数表示式(1.24)准确表示为：

(1.39)

这就是著名的采样定理。

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