共轭、转置，共轭转置和逆矩阵的性质

2024-05-31 14:48:46

共轭、转置和共轭转置满足分配律

(A+B)∗=A∗+B∗，(A+B)T=AT+BT，(A+B)H=AH+BH(\boldsymbol A +\boldsymbol B)^{*}=\boldsymbol A ^{*}+\boldsymbol B ^{*}，(\boldsymbol A +\boldsymbol B )^{\mathrm{T}}=\boldsymbol A ^{\mathrm{T}}+\boldsymbol B ^{\mathrm{T}}，(\boldsymbol A +\boldsymbol B)^{\mathrm{H}}=\boldsymbol A ^{\mathrm{H}}+\boldsymbol B ^{\mathrm{H}}(A+B)∗=A∗+B∗，(A+B)T=AT+BT，(A+B)H=AH+BH

矩阵乘积的转置、共轭转置和逆矩阵满足关系式

(AB)T=BTAT，(AB)H=BHAH，(AB)−1=B−1A−1(\boldsymbol {AB} )^{\mathrm{T} } =\boldsymbol B ^{\mathrm{T} } \boldsymbol A^{\mathrm{T} } ，(\boldsymbol {AB} )^{\mathrm{H} } =\boldsymbol B ^{\mathrm{H} } \boldsymbol A ^{\mathrm{H} }，(\boldsymbol {AB} )^{-1 } =\boldsymbol B ^{-1 }\boldsymbol A ^{-1 }(AB)T=BTAT，(AB)H=BHAH，(AB)−1=B−1A−1
矩阵乘积的逆展开需要满足A\boldsymbol AA和B\boldsymbol BB均为可逆矩阵

共轭、转置和共轭转置等符号均可与求逆符号交换

(A∗)−1=(A−1)∗，(AT)−1=(A−1)T，(AH)−1=(A−1)H(\boldsymbol A ^{*} )^{-1} =(\boldsymbol A ^{-1} )^{*} ，(\boldsymbol A^{\mathrm{T} } )^{-1} =(\boldsymbol A ^{-1} )^{\mathrm{T} } ，(\boldsymbol A ^{\mathrm{H} } )^{-1} =(\boldsymbol A ^{-1} )^{\mathrm{H} } (A∗)−1=(A−1)∗，(AT)−1=(A−1)T，(AH)−1=(A−1)H

对于任意矩阵A\boldsymbol AA，矩阵AHA{{\boldsymbol A}^\mathrm{H}}{\boldsymbol A}AHA以及AHA{{\boldsymbol A}^\mathrm{H}}{\boldsymbol A}AHA都是HermitianHermitianHermitian矩阵。

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