八数码（Astar）

题目描述

在一个 3×3 的网格中，1∼8 这 8个数字和一个 X 恰好不重不漏地分布在这 3×3 的网格中。

例如：

1 2 3
X 4 6
7 5 8

在游戏过程中，可以把 X 与其上、下、左、右四个方向之一的数字交换（如果存在）。

我们的目的是通过交换，使得网格变为如下排列（称为正确排列）：

1 2 3
4 5 6
7 8 X

例如，示例中图形就可以通过让 X 先后与右、下、右三个方向的数字交换成功得到正确排列。

交换过程如下：

1 2 3   1 2 3   1 2 3   1 2 3
X 4 6   4 X 6   4 5 6   4 5 6
7 5 8   7 5 8   7 X 8   7 8 X

把 X 与上下左右方向数字交换的行动记录为 u、d、l、r。

现在，给你一个初始网格，请你通过最少的移动次数，得到正确排列。

输入格式

输入占一行，将 3×33×3 的初始网格描绘出来。

例如，如果初始网格如下所示：

1 2 3
x 4 6
7 5 8

则输入为：1 2 3 x 4 6 7 5 8

输出格式

输出占一行，包含一个字符串，表示得到正确排列的完整行动记录。

如果答案不唯一，输出任意一种合法方案即可。

如果不存在解决方案，则输出 unsolvable。

输入样例：

2  3  4  1  5  x  7  6  8

输出样例

ullddrurdllurdruldr

思路

首先，八数码有解判断的必要条件：逆序对的个数若为偶数个时有解，若为奇数个则无解。详见图（借，有问题则删，https://www.acwing.com/solution/content/35528/）

其次，对于使用astar优化时，因为当我们移动一个点的时候，只能上下左右间移动，因此 f(n) 预估距离的设定，这里定义为当前图各个点到最终图各个点的哈夫曼距离之和。

参考代码：

#include <bits/stdc++.h>#define io ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)#define LL long long#define x first#define y second#define PII pair<int,int>#define PIS pair<int,string>#define PIII pair<int,PII>#define PDD pair<double,double>using namespace std;const int INF=0x3f3f3f3f;const int N=1005;const int M=1e7;const int mod=1e9+7;/*八数码有解判断的必要条件：逆序对的个数若为偶数个时有解，若为奇数个则无解。*///当前点到终点的预估距离，每个位置点距离自己正确位置的哈夫曼距离和// abs(xs-xe)+abs(ys-ye);int f(string state){int res = 0;int len=state.length();for(int i=0;i<len;i++){if(state[i] != 'x'){int t = state[i] - '1';res += abs(i/3 - t/3)+abs(i%3 - t%3);}}return res;}string start; //存初始状态int dir[4][2]={-1,0,1,0,0,-1,0,1};char go[]="udlr";string astar(){//最终状态string end="12345678x";map<string , int> dis; //到这个状态的实际距离map<string , pair<string,char> >pre; //到这个状态的,前个状态和动作priority_queue<PIS,vector<PIS>,greater<PIS> >q;q.push({f(start),start});dis[start]=0;while(q.size()){auto tmp=q.top();q.pop();//当前状态string state=tmp.y;//到达最终状态，退出if(state==end)break;//获取当前步数int step=dis[state];int x,y;//找到操作"X"的位置for(int i=0;i<9;i++){if(state[i]=='x'){x=i/3;y=i%3;break;}}//存储当前状态string source=state;//开始向4个方向扩展for(int i=0,nx,ny;i<4;i++){nx=x+dir[i][0];ny=y+dir[i][1];if(nx<0 || nx>=3 || ny<0 || ny>=3)continue;//交换2点位置swap(state[x*3+y],state[nx*3+ny]);/*更新状态的2种情况:1.若移动后的状态不存在2.若移动后的状态所用步数大于当前状态，则表示移动后的状态下都可以被更新*/if(dis.count(state)==0 || dis[state]>step+1){//更新实际距离dis[state]=step+1;//记录前驱,{前一个状态，动作}pre[state]={source,go[i]};q.push({dis[state]+f(state),state});}//回溯2点位置swap(state[x*3+y],state[nx*3+ny]);}}//反向遍历操作结果string res="";while(end!=start){res+=pre[end].y;end=pre[end].x;}reverse(res.begin(),res.end());return res;}int main(){char c;string str; //用来判断逆序对for(int i=0;i<9;i++){cin>>c;if(c!='x')str+=c;start+=c;}int cnt=0; //逆序对个数for(int i=0;i<str.length();i++){for(int j=i+1;j<str.length();j++){if(str[i]>str[j])cnt++;}}//奇数个，无解if(cnt&1)cout<<"unsolvable\n";//偶数个，存在解else cout<<astar()<<"\n";system("pause");return 0;}

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