\(\S1\). 旋转曲面

设曲面\(\Phi\)由曲线\(\gamma:z=f(x)\)绕\(z\)轴旋转，从而曲面方程为：\(z=f(\sqrt{x^2+y^2})=f(r),\ r=\sqrt{x^2+y^2}\)，这时曲面的第一基本形式为：

\[E=1+(xf'/r)^2,\ G=1+(yf'/r)^2,\ F=xy(f')^2/r^2,\ EG-F^2=1+(f')^2\]

因为曲面是旋转对称的，我们只要在\(y=0\)平面上考虑即可，此时\(E=1+(f')^2,F=0,G=1\)，

\[L=\frac{f''}{\sqrt{1+(f')^2}},\ M=0,\ N=\frac{f'}{x\sqrt{1+(f')^2}}\]

曲面的Gauss曲率为

\[K=\frac{f''f'}{x[1+(f')^2]^2}\]

其主曲率分别为：

\[k_1=\frac{f''}{[1+(f')^2]^{3/2}},\qquad k_2=\frac{f'}{x\sqrt{1+(f')^2}}\]

容易看出，\(k_1\)即为\(\gamma\)的曲率，\(k_2\)的意义可如下解释：在\(xOz\)平面内过\(P(x,f(x))\)做\(\gamma\)的垂线，其与\(z\)轴交点为\(Q\)，则\(|k_2|=1/|PQ|\)。

对于旋转曲面，存在参数化\(\mathbf{r}(u,v)\)使得\(E=1,F=0,G=G(u)\)，事实上，我们只要取\(u\)为曲线\(\gamma\)的弧长参数即可。

有时，我们将曲线\(\gamma\)表示为\(x=\phi(z)\)是方便的，此时曲面的Gauss曲率为

\[K=-\frac{\phi''}{\phi[1+(\phi')^2]^2}\]

下面，我们试图找出所有常Gauss曲率\(K_0\)的旋转曲面：

\[K_0==-\frac{\phi''}{\phi[1+(\phi')^2]^2}\Rightarrow-K_0\phi^2=-\frac{1}{1+(\phi')^2}+c\]

（1）若\(K_0>0\)，初始条件可设为\(\phi(0)=x_0,\phi'(0)=0\)，此时\(c=1-K_0x_0^2\)，从而上述方程化为

\[(\phi')^2=\frac{-K_0(\phi^2-x_0^2)}{1+K_0(\phi^2-x_0^2)}\]

该方程的解\(\phi\)关于变量\(z\)为偶函数，对于\(z<0\)，方程可写为：

\[\phi'=\frac{\sqrt{K_0(x_0^2-\phi^2)}}{\sqrt{1+K_0(\phi^2-x_0^2)}}\]

该方程的解可以参数化为

\[x(\bar{u})=x_0\cos(\sqrt{K_0}\bar{u}),\quad z(\bar{u})=\int_0^{\bar{u}}\sqrt{1-x_0^2K_0\sin^2(\sqrt{K_0}t)}dt\]

下面分三种情形考虑：

1. \(x_0=\frac{1}{\sqrt{K_0}}\)，此时\(x(\bar{u})=x_0\cos(\sqrt{K_0}\bar{u}),z(\bar{u})=x_0\sin(\sqrt{K_0}\bar{u})\)，从而\(\Phi\)为球面。

2. \(x_0>\frac{1}{\sqrt{K_0}}\)，由\(\phi'\)的上述表达式知\(K_0\phi^2>K_0x_0^2-1=a^2>0\)知\(\phi(z)\geq|a|\)，但\(z'(\bar{u})\)在\(\bar{u}_1=\frac{1}{\sqrt{K_0}}\arcsin\frac{1}{x_0\sqrt{K_0}}\)处为零。从而我们得到，存在实数

\[z_1=\int_0^{\bar{u}}\sqrt{1-x_0^2K_0\sin^2(\sqrt{K_0}t)}dt\]

使得\(\phi(z)\)仅在\((-z_1,z_1)\)上有定义，且在此区间上\(0<|a|<\phi<x_0\)。曲面非闭合且同胚于圆柱面。

3. \(x_0<\frac{1}{\sqrt{K_0}}\)，此时也有\(\phi<x_0\)，而由\(K_0x_0^2-1<0\)知，存在实数

\[z_2=\int_0^{\frac{\pi}{2\sqrt{K_0}}}\sqrt{1-x_0^2K_0\sin^2(\sqrt{K_0}t)}dt\]

使得\(\phi(z_2)=0\)且\(\phi'(z_2)=\sqrt{\frac{K_0x_0^2}{1-K_0x_0^2}}>0\)，从而曲面同胚于球面但有两个奇点。

（2）若\(K_0<0\)，设\(c=1\)，则原方程化为

\[K_0\phi^2=-\frac{(\phi')^2}{1+(\phi')^2}\]

令\(\phi'=\tan t\)，则\(\phi=\frac{1}{\sqrt{-K_0}}\sin t\)，从而

\[x=\frac{1}{\sqrt{-K_0}}\sin t,\qquad z=\frac{1}{\sqrt{-K_0}}\left(\cos t+\log\tan\frac{t}{2}\right)+c_1\]

再令\(c_1=1\)，我们得到伪球面：

\[x=\frac{1}{\sqrt{-K_0}}\sin u\cos v,\quad y=\frac{1}{\sqrt{-K_0}}\sin u\sin v,\quad z=\frac{1}{\sqrt{-K_0}}\left(\cos u+\log\tan\frac{u}{2}\right),\qquad0<u<\frac{\pi}{2},0\leq v<2\pi\]

\(\S2\). 直纹面和旋转曲面

定义：直纹面是指单参数直线族。设\(\mathbf{r}_1(u)\)为空间中正则\(C^k(k\geq2)\)曲线，\(\mathbf{a}(u)\)为沿\(\gamma\)的处处非零的\(C^k\)向量场，这样一般就可形成直纹面\(\Phi:\mathbf{r}_1(u)+v\mathbf{a}(u)\)。若\(\mathbf{a}'(u)\neq0\)，则称该直纹面为非圆柱的；对于非圆柱直纹面，如果其直线族均平行于某固定平面（定向平面），则称为Catalan曲面；若Catalan曲面的所有直线族均与一定直线相交，则称为锥形面（该定直线称为锥轴）；如果进一步锥轴与定向平面垂直，则称该锥形面称为直锥形面。

最简单的锥形面是双曲抛物面。

容易看出，直纹面的Gauss曲率为：\(K=-\frac{M^2}{EG-F^2}\leq0\)，而\(K=0\)意味着\((\mathbf{r}_1'(u),\mathbf{a}(u),\mathbf{a}'(u))=0\)。下面三种情形下\(K\equiv0\)：

1. \(\mathbf{r}_1'(u)\equiv0\)：此时曲面为锥面（去掉顶点）；

2. \(\mathbf{a}'(u)\equiv0\)：此时曲面为柱面；

3. \(\mathbf{r}_1'(u)\times\mathbf{a}(u)\equiv0\)：此时曲面为切线面；

容易证明，Gauss曲率恒为\(0\)的直纹面必是上述三种情形之一。Gauss曲率为\(0\)的曲面称作可展曲面，可以证明任意可展曲面必是直纹面！另外，容易证明可展曲面沿着直母线的法向量不变。

最后考虑可展曲面在弧长参数化的基曲线\(\gamma:\mathbf{r}=\mathbf{r}_2(u)\)的邻域上的结构：将曲面\(\Phi\)根据参数\(v\)的正负分为两个半曲面\(\Phi_1,\Phi_2\)，此时曲面的第一基本形式为

\[E=1+k^2v^2,\qquad F=G=1\]

这里\(k=k(u)\)为曲线\(\gamma\)的曲率。

\(\S3\). 凸曲面

\(\S4\). 鞍曲面

定义：\(C^2\)正则曲面\(\Phi\)称作鞍曲面，如果其Gauss曲率处处非正。 

注意到若曲面\(\Phi\)上点\(P\)处Gauss曲率为负，则曲面位于该点的切平面\(T_P\Phi\)两侧。完备鞍曲面的一个重要特征是其在\(\mathbb{R}^3\)中无界且整个曲面不会落在任何严格凸区域内。然而鞍曲面可以完全落在两个平面之间，简单而有趣的例子是\(x=\frac{z^2}{1-z^2}(|z|<1)\)绕\(z\)轴旋转所得的曲面。

定理：（S.N. Bernstein）若鞍曲面\(\Phi\)由\(z=f(x,y),(x,y)\in\mathbb{R}^2\)定义且每个点均有负曲率，则有

\[\sup_{x,y}|f(x,y)|=\infty\]

定理：（N.V. Efimov）\(\mathbb{R}^3\)中完备\(C^2\)正则的鞍曲面的Gauss曲率的最小上界是\(0\)。

定理：若完备鞍曲面\(\Phi\in\mathbb{R}^3\)满足\(\inf|k_1(P)|+\inf|k_2(P)|=c>0\)，则\(\Phi\)为圆柱，即\(k_1(P)\equiv0,k_2(P)\equiv\)常数。 

证明：假设\(k_1(P)\leq0,k_2(P)\geq0\)且\(\inf|k_2(P)|=c_1>0\)，再假设\(K\)不恒为零。取\(R\)使得\(R>\frac{1}{c}\)，则平行曲面\(\Phi(R)\)的Gauss曲率非负，事实上

\[K(P,R)=\frac{K(P)}{(1-Rk_1(P))(1-Rk_2(P))}\]

这样\(\Phi(R)\)可以落在一个落在一个严格凸锥\(C\)内。取另一个强凸锥\(C_1\)包含\(C\)且与\(C\)中各点的距离均大于\(R\)，则鞍曲面\(\Phi\)整个位于锥\(C\)内，这是不可能的。从而\(K\equiv0\)。

猜想：（J. Milnor）上述命题中的假设可以改为\(\inf(|k_1(P)|+|k_2(P)|)\neq0\)。

定理：设\(\Phi\in C^k(k\geq2)\)为正则凸曲面，设\(0\leq k_1(P)\leq k_2(P)\)为\(P\)点主曲率，若\(\sup k_1(P)<\inf k_2(P)\)，则\(\Phi\)为圆柱，从而\(k_1\equiv0,k_2\equiv c_0>0\)。

证明：用反证法，假设\(\Phi\)不是柱面。首先，该曲面不同胚于球面，因为球面上至少有一个脐点。从而我们只要考虑\(\Phi\)同胚于平面，设\(c_1=\sup k_1(P)>0,c_2=\inf k_2(P)\)，并设\(R\)满足\(\frac{1}{c_2}<R<\frac{1}{c_1}\)。下面考虑平行曲面\(\Phi(R),\Phi(-R)\)：

\(\Phi(-R)\)是凸的且包含整个\(\Phi(R)\)，而\(\Phi(R)\)为正则鞍曲面，这是因为

\[K(P,R)=\frac{K(P)}{(1-Rk_1(P))(1-Rk_2(P))}\]

但这是不可能的，因为鞍曲面不可能落在凸曲面内。