37%法则

题目：一个活动,n个女生手里拿着长短不一的玫瑰花,无序的排成一排,一个男生从头走到尾,试图拿更长的玫瑰花,一旦拿了一朵就不能再拿其他的,错过了就不能回头,问最好的策略?
——出自牛客网机器学习/算法工程师面试宝典
官方给出的解答是真的看不懂，没有任何解释，而网上大部分解释都是照搬官方回答或者37%法则的数学推理。
很多人看官方的回答会陷入一个误区，比如这个老哥的评论：

其实官方的解题思路并不是找到最优的那个数字，举个例子：

可以看到这里10是最大的数字，但我们根据这个策略(前3个不选，然后只要见到比8大的就选)，选择的数字却是9。

解题思路是这样的：前rrr个女生我是只看不选的，从第r+1个女生开始选。
这种策略并不保证选到最优的结果(10)，但是能保证你选到一个还不错的结果，最重要的是，这种策略是可以计算的，可以用数学公式来算。因为你想，这道题给你，你能想到什么策略？只有这一种策略嘛，所以最重要的就是找到这个数，这个rrr是几的时候，概率最大。

接下来就是数学公式了。我们用P(K)P(K)P(K)来表示选到最佳结果的概率，由于rrr是变量，所以这个概率是变化的，我们最后才可以求导取这个概率的最大值。
P(K)=∑i=r+1n1n∗ri−1P(K)=\sum_{i=r+1}^{n}\frac{1}{n}*\frac{r}{i-1}P(K)=i=r+1∑nn1∗i−1r
公式的理解：
首先这个求和符号就是高中学的加法原理，把每一个数字选中的概率都算出来加一起就是最后的结果。为了方便解释，我们就用上面的例子，然后令rrr取3，前3个不取，自然就不用加了，直接从4开始，所以我们选择的结果就是从第4个到第8个数字，每个数字被选中的概率是均等的，所以先来个19\frac{1}{9}91。
接下来就是核心了，我们用例子中的第六个数字9来说举例，要想选中9，条件就是前5个数字中，最大的数字(8)必须在前三个数字中，否则的话第4个数字来个10，直接就选第4个数字10了，就轮不到9了。这就是为什么要乘ri−1\frac{r}{i-1}i−1r
i−1i-1i−1意思是前i−1i-1i−1个数字，rrr意思就是看了不选的前r个数字，每个数字的概率相等，那rrr个数字中有最大值的概率自然就是rrr除以总数i−1i-1i−1。

很多人就是把这里找最大值的过程，当做是找最优结果了。谁让官方回答来了一个《拥有最长玫瑰的女生出现在前r-1个女生中》。这种说法是不准确的，应该说《前k-1个女生中，拥有最长玫瑰的女生出现在前r-1个女生中》，这样大家就不会误解了。

理解如何得到P(K)P(K)P(K)之后，下面就是求个导数。(官方回答仍然很让人费解，我是看不懂)
P(K)P(K)P(K)可以这样写
P(K)=1n∑i=r+1nri−1P(K)=\frac{1}{n}\sum_{i=r+1}^{n}\frac{r}{i-1}P(K)=n1i=r+1∑ni−1r
就是把1n\frac{1}{n}n1放到前面去，只有iii是不能提出来的，其他字母都可以提出来。我们的变量只有一个rrr。
令x=rnx=\frac{r}{n}x=nr
P(K)P(K)P(K)就可以写为： (如果这一步不懂，可以先跳过，下面有解释，用到了微积分中的求和公式转积分的知识)
P(K)=x∫x11tdt=−xlnxP(K)=x\int_x^1\frac{1}{t}dt=-xlnxP(K)=x∫x1t1dt=−xlnx
求导，
P′(K)=−(lnx+1)P^\prime(K)=-(lnx+1)P′(K)=−(lnx+1)
令P′(K)=0P^\prime(K)=0P′(K)=0则
x=1ex=\frac{1}{e}x=e1
P(K)max=1eP(K)_{max}=\frac{1}{e}P(K)max=e1
r=ner=\frac{n}{e}r=en

求和公式转积分

如何从P(K)=1n∑i=r+1nri−1P(K)=\frac{1}{n}\sum_{i=r+1}^{n}\frac{r}{i-1}P(K)=n1i=r+1∑ni−1r变到P(K)=x∫x11tdt=−xlnxP(K)=x\int_x^1\frac{1}{t}dt=-xlnxP(K)=x∫x1t1dt=−xlnx
这里要用到微积分的知识。首先回顾一下积分求和公式：
∫01f(x)dx=lim⁡n→+∞1n∑i=1nf(in)\int_0^1f(x)dx=\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(\frac{i}{n})∫01f(x)dx=n→+∞limn1i=1∑nf(ni)
求和公式转成积分，不是特别直观，我们采用的方法是尽量还原成积分求和公式右边的这种形式
我们把P(K)P(K)P(K)公式的下标变换一下：
P(K)=1n∑i=rnriP(K)=\frac{1}{n}\sum_{i=r}^{n}\frac{r}{i}P(K)=n1i=r∑nir
然后把rrr提出来
P(K)=rn∑i=rn1iP(K)=\frac{r}{n}\sum_{i=r}^{n}\frac{1}{i}P(K)=nri=r∑ni1
接下来就是凑，往标准公式右边凑，已经有1n\frac{1}{n}n1了，不用凑了，但我们是1i\frac{1}{i}i1，别人是in\frac{i}{n}ni，那可以乘个nnn
再取倒数，就变成了
P(K)=rn∗1n∑i=rn1inP(K)=\frac{r}{n}*\frac{1}{n}\sum^n_{i=r}\frac{1}{\frac{i}{n}}P(K)=nr∗n1i=r∑nni1
我们令x=rnx=\frac{r}{n}x=nr
直接把in\frac{i}{n}ni换成变量ttt就行了，上限是当iii取到nnn时，即1，下限是当iii取rrr时，即rn\frac{r}{n}nr，也就是xxx
所以P(K)=x∫x11tdtP(K)=x\int_x^1\frac{1}{t}dtP(K)=x∫x1t1dt

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