自控原理（1）——流程图的化简及Mason公式

等效变化的原则

对流程图的任何一部分进行变换时，应该遵循等效变换原则——变换前后系统总的传递函数应该保持不变。

3种基本变换

串联

ϕ(s)=G1(s)G2(s)\phi(s)=G_{1}(s)G_{2}(s)ϕ(s)=G1(s)G2(s)

并联

ϕ(s)=G1(s)+G2(s)\phi(s)=G_{1}(s)+G_{2}(s)ϕ(s)=G1(s)+G2(s)

反馈

ϕ(s)=G1(s)1∓G2(s)\phi(s)=\frac{G_{1}(s)}{1\mp G_{2}(s)}ϕ(s)=1∓G2(s)G1(s)

引出点，比较点变化

梅逊（Mason）公式

梅逊（mason）公式是美国麻省理工学院S.J.Mason 于20世纪50年代提出的。借助梅逊公式，不经过任何结构变换，便可以得到系统的传递函数。极大的降低流程图化简的难度，是自动控制史上一项很具有代表的成就。

梅逊公式表达式

ϕ(s)=∑PkΔkΔ\phi(s)=\frac{\sum{P_{k}{\Delta_{k}}}}{\Delta}ϕ(s)=Δ∑PkΔk
Δ\DeltaΔ：特征式
Δ=1−∑Li+∑LiLj−∑LiLjLk+⋯\Delta=1-\sum{L_{i}}+\sum{L_{i}L_{j}}-\sum{L_{i}L_{j}L_{k}}+\cdotsΔ=1−∑Li+∑LiLj−∑LiLjLk+⋯
∑Li\sum{L_{i}}∑Li：所有两两互不接触的回路增益之和
∑LiLj\sum{L_{i}L_{j}}∑LiLj：所有回路（每个单独的回路）的回路增益之和
∑LiLjLk\sum{L_{i}L_{j}L_{k}}∑LiLjLk：所有三三互不接触的回路增益之和
PkP_{k}Pk：从输入节点到输出节点的第KKK条前向通路的增益
Δk\Delta_{k}Δk：在Δ\DeltaΔ中，将与第KKK条前向通路接触的回路去除后，余下的Δ\DeltaΔ，称作余子式

相关例题

例2：对例1用#梅逊（Mason）公式求解，得出系统传递函数ϕ(s)\phi(s)ϕ(s)。

解：∑Li=−G1(s)G2(s)G3(s)−G1(s)G4(s)−G2(s)G3(s)H2(s)−G1(s)G2(s)H1(s)−G4(s)H2(s)\sum{L_{i}}=-G_{1}(s)G_{2}(s)G_{3}(s)-G_{1}(s)G_{4}(s)-G_{2}(s)G_{3}(s)H_{2}(s)-G_{1}(s)G_{2}(s)H_{1}(s)-G_{4}(s)H_{2}(s)∑Li=−G1(s)G2(s)G3(s)−G1(s)G4(s)−G2(s)G3(s)H2(s)−G1(s)G2(s)H1(s)−G4(s)H2(s)
没有两个及两个以上互不接触得回环，故
Δ=1+G1(s)G2(s)G3(s)+G1(s)G4(s)+G2(s)G3(s)H2(s)+G1(s)G2(s)H1(s)+G4(s)H2(s)\Delta=1+G_{1}(s)G_{2}(s)G_{3}(s)+G_{1}(s)G_{4}(s)+G_{2}(s)G_{3}(s)H_{2}(s)+G_{1}(s)G_{2}(s)H_{1}(s)+G_{4}(s)H_{2}(s)Δ=1+G1(s)G2(s)G3(s)+G1(s)G4(s)+G2(s)G3(s)H2(s)+G1(s)G2(s)H1(s)+G4(s)H2(s)
前向通路
P1=G1(s)G2(s)G3(s)P_{1}=G_{1}(s)G_{2}(s)G_{3}(s)P1=G1(s)G2(s)G3(s)
P2=G1(s)G4(s)P_{2}=G_{1}(s)G_{4}(s)P2=G1(s)G4(s)
余子式
Δ1=1\Delta_{1}=1Δ1=1
Δ2=1\Delta_{2}=1Δ2=1
故
ϕ(s)=G1(s)G2(s)G3(s)+G1(s)G4(s)1+G1(s)G2(s)G3(s)+G1(s)G4(s)+G2(s)G3(s)H2(s)+G1(s)G2(s)H1(s)+G4(s)H2(s)\phi(s)=\frac{G_{1}(s)G_{2}(s)G_{3}(s)+G_{1}(s)G_{4}(s)}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)G_{3}(s)+G_{1}(s)G_{4}(s)+G_{2}(s)G_{3}(s)H_{2}(s)+G_{1}(s)G_{2}(s)H_{1}(s)+G_{4}(s)H_{2}(s)}ϕ(s)=1+G1(s)G2(s)G3(s)+G1(s)G4(s)+G2(s)G3(s)H2(s)+G1(s)G2(s)H1(s)+G4(s)H2(s)G1(s)G2(s)G3(s)+G1(s)G4(s)

化简上式可得与例1一样得结果，可见，梅逊公式简单明了，并且简化了大量得计算，因此，梅逊公式可以说对系统框图的化简是必不可少的。

到此为止，自控原理（1）——流程图的化简及Mason公式的介绍已完成，如有问题，或需要探讨，请留言或联系本人。QQ:2214564003QQ:2214564003QQ:2214564003
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