文章目录

  • 简介
  • 进制的基本概念
  • 二进制、八进制、十六进制加减法的区别
    • 二进制
    • 八进制
    • 十六进制
  • 数制之间的转换
    • 情景一、将二进制、八进制、十六进制转换为十进制（总结：按权相加）
      • 整数部分（不带小数）
      • 整数部分+小数部分
    • 情景二、将十进制转换为二进制、八进制、十六进制（总结：整数部分为除 N 取余，逆序排列，小数部分为乘 N 取整，顺序排列，N为要转换对应进制的基数）
      • 整数部分（不带小数）
      • 整数部分+小数部分
    • 情景三、二进制和八进制、十六进制的转换（总结：通常二进制的3位分别用八进制的3位和十六进制的4位来表示）
      • 二进制整数和八进制整数之间的转换
      • 二进制整数和十六进制整数之间的转换

简介

目前计算机虽然能够快速运算，但它内部使用的数据并不像人类所熟悉的十进制数，而是使用只含0、1组成的二进制数。我们输入到计算机的十进制数需要被转换成二进制数后再进行计算，计算后的结果又由二进制转换成我们需要的进制数，这些都是由操作系统自动完成，数制是用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法，人们通常采用的数制有十进制，二进制，八进制和十六进制。

进制的基本概念

二进制，八进制，十进制，十六进制之间的区别在于：

  • 数码（各个位上的数字）表示的范围不同，二进制的数码有0和1，十六进制的数码有0~9，A~F
  • 基数（所能够使用数码的个数）不同，二进制的基数为2，十六进制的基数为16
  • 位权（i位上的位权为基数的（i-1）次幂，从左至右分别为第1位，第2位…），如十进制数123中的1所在位的位权是10^2，2所在位的位权是10^1，3所在位的位权是10^0；二进制数1101中，最左边的1位权是2^3

二进制、八进制、十六进制加减法的区别

二进制

二进制加减法和十进制加减法的思想是类似的：对于二进制，进行加法运算时逢二进一，进行减法运算时借一当二。

  • 二进制加法：1+0=1、1+1=10、11+10=101、111+111=1110
  • 二进制减法：1-0=1、10-1=1、101-11=10、1100-111=101

八进制

八进制有 0~7 共8个数字，基数为8，加法运算时逢八进一，减法运算时借一当八。例如，数字 0、1、5、7、14、733、67001、25430 都是有效的八进制。

  • 八进制加法：3+4=7、5+6=13、75+42=137、2427+567=3216

  • 八进制减法：6-4=2、52-27=23、307-141=146、7430-1451=5757

十六进制

十六进制中，用A来表示10，B表示11，C表示12，D表示13，E表示14，F表示15，因此有 0~F 共16个数字，基数为16，加法运算时逢16进1，减法运算时借1当16。例如，数字 0、1、6、9、A、D、F、419、EA32、80A3、BC00 都是有效的十六进制。

  • 十六进制加法：6+7=D、18+BA=D2、595+792=D27、2F87+F8A=3F11

  • 十六进制减法：D-3=A、52-2F=23、E07-141=CC6、7CA0-1CB1=5FEF

数制之间的转换

情景一、将二进制、八进制、十六进制转换为十进制（总结：按权相加）

二进制、八进制和十六进制向十进制转换都非常容易，就是“按权（位权）相加”。不清楚位权的同学可以往上看。
假设当前数字是 N 进制，那么：

  • 对于整数部分，从右往左看，第 i 位的位权等于Ni-1
  • 对于小数部分，恰好相反，要从左往右看，第 j 位的位权为N-j

整数部分（不带小数）

将二进制数字11010转换成十进制：

11010 = 1×2^4 + 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0 = 26（十进制）

八进制数字 53627 转换成十进制：

53627 = 5×8^4 + 3×8^3 + 6×8^2 + 2×8^1 + 7×8^0 = 22423（十进制）

十六进制数字 9FA8C 转换成十进制（将A~F对应的具体的数字计算）：

9FA8C = 9×16^4 + 15×16^3 + 10×16^2 + 8×16^1 + 12×16^0 = 653964（十进制）

整数部分+小数部分

二进制数字1010.1101 转换成十进制：

1010.1101 = 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0 + 1×2^-1 + 1×2^-2 + 0×2^-3 + 1×2^-4 = 10.8125（十进制）

八进制数字 423.5176 转换成十进制：

423.5176 = 4×82 + 2×81 + 3×80 + 5×8-1 + 1×8-2 + 7×8-3 + 6×8-4 = 275.65576171875（十进制）

小数部分和整数部分相反，要从左往右看，第1位的位权为 8-1=1/8，第2位的位权为 8-2=1/64，第3位的位权为 8-3=1/512，第4位的位权为 8-4=1/4096 …… 第m位的位权就为 8-m。

C语言实现代码（仅讨论整数）：

/*
将一个2,8进制转换为十进制 （算法思维从高位到低位运算，暂时没考虑16进制）
*/
#include <stdio.h>
#include <string.h>//strlen()
int OcToDec(char *a,int base);//将2,8进制数a转换为十进制数
int main(void)
{char a[20];//a存放八进制整数int tennum;//存放a对应的十进制整数printf("请输入一个数：") ;scanf("%s",a);//输入的时候，a[20]={1,0,1}  int n;printf("请输入该数的基数（输入的是几进制基数就是几）：");scanf("%d",&n);tennum=OcToDec(a,n);printf("%d进制数%s转换为十进制为：%d\n",n,a,tennum);return 0;
}
int OcToDec(char *a,int base)
{int sum=0;//变量sum存放a对应的十进制数 int len=strlen(a);//位数 int weight=1;//位权值for(int i=len-1;i>=0;i--)//将八进制从低位向高位输出， 即数组a下标最大的元素为八进制的最低位 {sum+=(a[i]-'0')*weight;//数组下标i越小，即八进制位数越高，位权weight越重 ，a[i]-'0'转化为Ascii码运算到到一个字符数字对应的整型数字 weight*=base; } return sum;
}

测试输出：


扩展：以下代码块将int OcToDec(char *a,int base)函数体修改一下，让其从二进制或八进制高位向低位扫描各位上的数，按权相加求和。其中base为基数2或8

int OcToDec(char *a, int base)   //将base（8）进制数a转换成十进制数
{int sum = 0;              int len = strlen(a);    for(int i = 0;i < len;i++){  sum = sum * base + a[i] - '0';      }return sum;
}

情景二、将十进制转换为二进制、八进制、十六进制（总结：整数部分为除 N 取余，逆序排列，小数部分为乘 N 取整，顺序排列，N为要转换对应进制的基数）

将十进制转换为其它进制时比较复杂，整数部分和小数部分的算法不一样。如果一个数字既包含了整数部分又包含了小数部分，那么将整数部分和小数部分开，分别按照上面的方法完成转换，然后再合并在一起即可。

整数部分（不带小数）

具体做法：

  • 将 N （要转化的目标进制的基数） 作为除数，用十进制整数除以 N，可以得到一个商和余数；
  • 保留余数，用商继续除以 N，又得到一个新的商和余数；
  • 仍然保留余数，用商继续除以 N，还会得到一个新的商和余数；
  • …
  • 如此反复进行，每次都保留余数，用商接着除以 N，直到商为 0 时为止。

将十进制数字 36926 转换成八进制：

结果为110076（八进制）。

将十进制数字 42 转换成二进制的过程：

结果为101010（二进制）

整数部分+小数部分

具体做法：

  • 用 N（要转化的目标进制的基数） 乘以十进制小数，可以得到一个积，这个积包含了整数部分和小数部分；
  • 将积的整数部分取出，再用 N 乘以余下的小数部分，又得到一个新的积；
  • 再将积的整数部分取出，继续用 N 乘以余下的小数部分；
  • …
  • 如此反复进行，每次都取出整数部分，用 N 接着乘以小数部分，直到积中的小数部分为 0，或者达到所要求的精度为止。

十进制小数 0.930908203125 转换成八进制小数的过程：

十进制小数 0.930908203125 转换成八进制小数的结果为 0.7345。

十进制小数 0.6875 转换成二进制小数的过程：

十进制小数 0.6875 转换成二进制小数的结果为 0.1011。

C语言实现代码（仅讨论整数）：

/*
将十进制转换为2,8,16进制
*/
#include <stdio.h>
#include <string.h>
void DToM(int d,int m,char *mnum);//D->decimalism
int main(void)
{int d;//存放输入的十进制数printf("请输入一个待转换的十进制数："); scanf("%d",&d);int M;printf("请输入要转换的进制（2,8,16）：");scanf("%d",&M);char Mnum[100];//存放十进制数d对应的M进制数DToM(d,M,Mnum);printf("该十进制数对应的%d进制数为：%s\n",M,Mnum); return 0;
}
void DToM(int d,int m,char *mnum)//d为十进制数，m为要转换的目标进制数，mnum指向的数组存放转换结果
{int len=0,r=0;//存放mnum指向数组的下标以及余数 do{//除M取余 r=d%m;if(r >= 10) //针对要转换为16进制的情况 mnum[len++] = r - 10 + 'A';   //将对应的整数转换成字母字符else      mnum[len++] = r + '0';     //将对应的整数转换成数字字符d/=m;}while(d!=0);mnum[len]='\0';char t;for(int i=0,j=len-1;i<j;i++,j--)//逆置输出 {t=mnum[i];mnum[i]=mnum[j];mnum[j]=t;}
}

测试输出：


情景三、二进制和八进制、十六进制的转换（总结：通常二进制的3位分别用八进制的3位和十六进制的4位来表示）

首先可以使用上面的方法

  • 将二进制转换为十进制（对应上文讲到的情景一），然后十进制转换为对应的的八进制和十六进制（对应上文讲到的情景二）
  • 亦或者将八进制和十六进制转换为十进制（情景一），然后十进制转化为二进制（情景二）

C语言实现代码（将情景一和情景二的代码整合一下，即借助十进制数作为中介）：

/*
N进制到M进制
*/
#include <stdio.h>
#include <string.h>
int NToD(char *a,int base);//将N进制数a转换为十进制数 (N可以考虑二、八、十六进制)
void DToM(int d,int m,char *mnum);//再将十进制转换成M进制(M可以考虑二，八，十六进制)
int getIndexOfSigns(char *ch);//NtoD函数内调用
int main(void)
{int N,M;//要将N进制数转换成M进制数 char Nnum[20],Mnum[20];//存放N进制数以及转换后的M进制数printf("要将N进制数Nnum转换成M进制数请输入以下格式\nN Nnum M："); scanf("%d %s %d",&N,Nnum,&M);int d=NToD(Nnum,N);//将N进制数Nnum转换成十进制数dDToM(d,M,Mnum);//将十进制数d转换成M进制数Mnumprintf("%d进制数%s转换成%d进制数为：%s\n",N,Nnum,M,Mnum); return 0;
}
int NToD(char *a,int base)
{int sum=0;//变量sum存放a对应的十进制数 int len=strlen(a);//位数 int weight=1;//位权值for(int i=len-1;i>=0;i--)//将N进制从低位向高位输出， 即数组a下标最大的元素为八进制的最低位 {sum+=(getIndexOfSigns(a[i]))*weight;//数组下标i越小，即八进制位数越高，位权weight越重 ，a[i]-'0'将字母映射为十进制数 weight*=base; } return sum;
}
void DToM(int d,int m,char *mnum)
{int len=0,r=0;//存放mnum指向数组的下标以及余数 do{//除M取余 r=d%m;if(r >= 10) //针对要转换为16进制的情况 mnum[len++] = r - 10 + 'A';   //将对应的整数转换成字母字符else      mnum[len++] = r + '0';     //将对应的整数转换成数字字符d/=m;}while(d!=0);mnum[len]='\0';char t;for(int i=0,j=len-1;i<j;i++,j--)//逆置输出 {t=mnum[i];mnum[i]=mnum[j];mnum[j]=t;}
}
int getIndexOfSigns(char *ch)
{if(ch >= '0' && ch <= '9'){return ch - '0';}if(ch >= 'A' && ch <='F') {return ch - 'A' + 10;}if(ch >= 'a' && ch <= 'f'){return ch - 'a' + 10;}return -1;
}

情况三代码是对情况一和情况二的综合，将情况一的int OcToDec（）改了一下见名知意的名字int NToD（），内部代码块没改，然后直接使用情况二的void DToM（），然后多加了一个int getIndexOfSigns(char *ch)增加了情况一对16进制的支持。

测试输出结果（其中对情况一中的函数进行了改进，支持16进制转换为10进制）：

这里采用一种简便的办法：

二进制整数和八进制整数之间的转换

二进制整数转换为八进制整数时，每三位二进制数字转换为一位八进制数字（由于3位的二进制数最大只能是7，而八进制的数码正是0~7，3位二进制位按权相加得到一个十进制数），运算的顺序是从低位向高位依次进行，高位不足三位用零补齐，最后拼接起来。

二进制整数 1110111100 转换为八进制的结果为 1674：


结果为 1674（八进制）

八进制整数转换为二进制整数时，思路是相反的，每一位八进制数字转换为三位二进制数字，运算的顺序也是从低位向高位依次进行。下图演示了如何将八进制整数 2743 转换为二进制：

结果为010111100011（二进制）

二进制整数和十六进制整数之间的转换

二进制整数转换为十六进制整数时，每四位二进制数字转换为一位十六进制数字，运算的顺序是从低位向高位依次进行，高位不足四位用零补齐。下图演示了如何将二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制：

二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制的结果为 2D5C（注意：十进制数要按十六进制数对应的表示法表示）。

十六进制整数转换为二进制整数时，思路是相反的，每一位十六进制数字转换为四位二进制数字，运算的顺序也是从低位向高位依次进行。下图演示了如何将十六进制整数 A5D6 转换为二进制：


从图中可以看出，十六进制整数 A5D6 转换为二进制的结果为 1010 0101 1101 0110。

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