本节介绍二阶系统的时域分析，主要介绍欠阻尼情况下的时间响应与动态性能指标

文章目录

概述
- 极点的表示方法
无阻尼响应
临界阻尼响应
过阻尼响应
欠阻尼响应
- 欠阻尼系统的单位阶跃响应
- 动态性能与极点分布的关系
- 例题
- 改善二阶系统动态性能的措施

概述

二阶系统时间响应比较重要，因为所有高阶系统都可以使用二阶系统来近似。

二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。反映在传递函数上就是闭环传递函数分母为s的2次方程。

二阶系统传递函数的标准形式

典型结构为一个惯性环节和一个积分环节串联

G(s)=ωn2s(s+2ξωn)G(s)=\displaystyle \frac{\omega_n^2}{_{s(s+2\xi \omega_n)}}G(s)=s(s+2ξωn)ωn2

Φ(s)=ωn2s2+2ξωns+ωn2\Phi(s)=\displaystyle \frac{\omega_n^2}{_{s^2+2\xi \omega_ns+\omega_n^2}}Φ(s)=s2+2ξωns+ωn2ωn2

其中ωn\omega_nωn具有1时间\frac{1}{{时间}}时间1的量纲，称为自然频率
ξ\xiξ是常数，称为阻尼比或者阻尼系数

二阶系统分类：
D(s)=s2+2ξωns+ωn2=0D(s)=s^2+2\xi \omega_ns+\omega_n^2=0D(s)=s2+2ξωns+ωn2=0

阻尼比	系统分类	特征根
ξ=0\xi=0ξ=0	0阻尼	λ1,2=±jωn\lambda_{1,2}=\pm j\omega_nλ1,2=±jωn
0<ξ<10<\xi<10<ξ<1	欠阻尼	λ1,2=−ξωn±j1−ξ2ωn\lambda_{1,2}=-\xi \omega_n \pm j\sqrt{1-\xi^2} \omega_nλ1,2=−ξωn±j1−ξ2ωn
ξ=1\xi=1ξ=1	临界阻尼	λ1=λ2=−ωn\lambda_{1}=\lambda_2=-\omega_nλ1=λ2=−ωn
ξ>1\xi>1ξ>1	过阻尼	λ1,2=−ξωn±ξ2−1ωn\lambda_{1,2}=-\xi \omega_n\pm \sqrt{\xi^2-1}\omega_nλ1,2=−ξωn±ξ2−1ωn

−1<ξ<0-1<\xi<0−1<ξ<0，系统震荡发散，ξ<−1\xi<-1ξ<−1，系统单调发散。不稳定，所以不加讨论。

极点的表示方法

特征根，也就是系统的极点，有以下几种不同的表示方法：

直角座标表示
λ1,2=−ξωn±j1−ξ2ωn\lambda_{1,2}=-\xi \omega_n \pm j\sqrt{1-\xi^2}\omega_nλ1,2=−ξωn±j1−ξ2ωn
其虚部ωd=ωn1−ξ2\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\xi^2}ωd=ωn1−ξ2称为阻尼震荡频率
“极”座标表示
注意，这个不是真的极座标，只是用极座标的方式去理解
把λ\lambdaλ写成模值+相角的形式
{∣λ∣=ωn∠λ=β\left \{ \begin{aligned} |\lambda|&=\omega_n\\ \angle \lambda&=\beta \end{aligned} \right.{∣λ∣∠λ=ωn=β

根据几何关系：
{cos⁡β=ξsin⁡β=1−ξ2\left \{ \begin{aligned} \cos \beta&=\xi\\ \sin \beta&=\sqrt {1-\xi^2} \end{aligned} \right.{cosβsinβ=ξ=1−ξ2
β\betaβ角也称阻尼角

无阻尼响应

此时特征根为共轭纯虚根

临界阻尼响应

此时特征根为两个相同的负实根

没有超调。
调节时间ts≈4.71ωnt_s\approx4.7\frac{1}{\omega_n}ts≈4.7ωn1
响应时间比过阻尼快。

过阻尼响应

此时特征根为两个不同的负实根

过阻尼情况下时间响应增加比临界阻尼更慢。
过阻尼情况可以等效为两个一阶惯性系统的串联。如果两个特征根绝对值相差很大（3倍以上），则这个二阶系统可以近似用一阶系统来表示。

动态性能指标的计算：
定义时间常数：
T1,2=1ωn(ξ±ξ2−1)T_{1,2}=\frac{1}{\omega_n(\xi \pm \sqrt{\xi^2-1})}T1,2=ωn(ξ±ξ2−1)1

系统时间响应：
y(t)=1+e−t/T1T2/T1−1+e−t/T2T1/T2−1y(t)=1+\frac{e^{-t/T_1}}{T_2/T_1-1}+\frac{e^{-t/T_2}}{T_1/T_2-1}y(t)=1+T2/T1−1e−t/T1+T1/T2−1e−t/T2 方程很难解，所以一般直接读图：

「图源：胡寿松-自动控制原理」
首先根据T1T2\frac{T_1}{T_2}T2T1或者ξ\xiξ，在曲线上确定出一个点。然后读出这个点对应的tsT1\frac{t_s}{T_1}T1ts，结合T₁的值就可以计算t_s的值了。

通过一个例子来体会一下这个曲线怎么用：

在工程实践中，如果ξ≥1.5\xi \ge1.5ξ≥1.5，可以按照一阶系统计算：
ts=(3∼4)T1=(3∼4)×1(ξ−ξ2−1)ωnt_s=(3\sim4)T_1=(3\sim4)\times \displaystyle \frac{1}{(\xi-\sqrt{\xi^2-1})\omega_n}ts=(3∼4)T1=(3∼4)×(ξ−ξ2−1)ωn1

欠阻尼响应

此时特征根为共轭复根。

欠阻尼系统的单位阶跃响应

动态性能的三个结论：
{tp=π1−ξ2⋅ωnσ=e−ξπ1−ξ2tS≈3.5ξωn\left \{ \begin{aligned} t_p&=\frac{\pi}{\sqrt{1-\xi^2}\cdot \omega_n}\\ \sigma&=e^{\frac{-\xi \pi}{\sqrt{1-\xi^2}}}\\ t_S&\approx\frac{3.5}{\xi \omega_n} \end{aligned} \right.⎩⎨⎧tpσtS=1−ξ2⋅ωnπ=e1−ξ2−ξπ≈ξωn3.5
也有教材里面ts≈3ξωn(5%误差带)，4ξωn(2%误差带)t_s\approx\frac{3}{\xi \omega_n}(5\%误差带)，\frac{4}{\xi \omega_n}(2\%误差带)ts≈ξωn3(5%误差带)，ξωn4(2%误差带)

再补充几个不太重要的指标，了解即可：
上升时间：tr=π−βωd,ωd=ωn⋅1−ξ2\displaystyle t_r=\frac{\pi -\beta}{\omega_d},\omega_d=\omega_n\cdot\sqrt{1-\xi^2}tr=ωdπ−β,ωd=ωn⋅1−ξ2
震荡次数：N=1.51−ξ2πξN=\displaystyle \frac{1.5\sqrt{1-\xi^2}}{\pi \xi}N=πξ1.51−ξ2

之前说性能指标的时候就已经说过，实际上使用的是单位阶跃响应曲线的包络线。
包络线是曲线：y(t)=1±11−ξ2e−ξωnty(t)=1\pm \frac{1}{\sqrt{1-\xi^2}}e^{-\xi\omega_nt}y(t)=1±1−ξ21e−ξωnt
实际调节时间是不连续的，比如下面这种情况：(ωn\omega_nωn为常数)

在ξ2\xi_2ξ2的情况下，第二次震荡刚好在误差带之内，所以计算调节之间只需要看第一次震荡进入误差带的时间t₂就可以了。
但是在ξ1\xi_1ξ1的情况下，第二次震荡刚好超出了误差带，所以必须计算第三次震荡进入误差带的时间t₁
虽然ξ1\xi_1ξ1ξ2\xi_2ξ2相差很少，但是反映在调节时间上就相差很大了。

最佳阻尼比
ξ=0.707\xi=0.707ξ=0.707

刚好时间响应曲线与误差带相切。这样实际上的调节时间是最短的。
用极座标表示就是β=45°\beta=45\degreeβ=45°
最佳阻尼比下，系统的实际调节时间：2ξωn\frac{2}{\xi \omega_n}ξωn2

动态性能与极点分布的关系

极点向上移动，超调量增大，但调节时间不变
向左移动，超调量减小，调节时间也减小
沿着某一条倾斜直线远离原点移动，超调量不变，调节时间减小

λ1,2=−ξωn±j1−ξ2ωn\lambda_{1,2}=-\xi \omega_n \pm j\sqrt{1-\xi^2}\omega_nλ1,2=−ξωn±j1−ξ2ωn
按照直角座标变化：向上即是仅虚部1−ξ2ωn\sqrt{1-\xi^2}\omega_n1−ξ2ωn增大，β\betaβ角增大，对应ξ\xiξ减小，σ=e−ξπ/1−ξ2\sigma=e^{-\xi \pi/\sqrt{1-\xi^2}}σ=e−ξπ/1−ξ2增大。ts=3.5ξωnt_s=\frac{3.5}{\xi \omega_n}ts=ξωn3.5不变。
向左即是仅实部−ξωn-\xi \omega_n−ξωn变小，ξωn\xi \omega_nξωn变大。β\betaβ角减小，对应ξ\xiξ增大。同样代入公式：σ\sigmaσ减小，tst_sts也减小。

按照极座标变化：
远离原点即是ωn\omega_nωn变大，β\betaβ角不变，ξ\xiξ不变。代入公式， tst_sts减小，σ\sigmaσ不变。
绕原点顺时针转动即是ωn\omega_nωn不变，β\betaβ角增大，ξ\xiξ减小。代入公式，tst_sts增大，σ\sigmaσ增大。

例题

欠阻尼二阶系统重点掌握动态性能指标的三个公式就可以了。

除了这种已知系统参数要求性能指标的题，还有已知性能指标倒求系统参数的题：

改善二阶系统动态性能的措施

测速反馈（增加阻尼）
比例+微分（提前控制）

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